Иррациональности

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Комментарии Паппа к X книге <Начал> Евклида, содержащие

сведения о сочинении Аполлония <О неупорядоченных иррациональ-

ностях>, сохранились только в арабском переводе Абу ‘Османа Са‘ида

ад-Димашки(Xв.). Этот перевод исследовалсяГ.Юнге иВ. Томсоном [47].

170

Раздел _____перевода ад-Димашки, относящийся к трактату Аполлония,

издан во французском переводе Ф. Вепке [58, с. 685—695].

В X книге <Начал> Евклида [9, т. 2, с. 101—256] была изложе-

на созданная Теэтетом теория квадратичных иррациональностей. Если

a и b—рациональные линии, т. е. прямолинейные отрезки, длины

которых равны произведениям длины единичного отрезка на рацио-

нальные числа, то к иррациональностям, рассматриваемым в X книге

<Начал> Евклида, относятся медиаль

ab, биномиаль

a+

√ b, вычет

a−

b, бимедиаль

p√

ab и их различные комбинации. Приведенные

в XIII книге <Начал> выражения (15.1), (15.2) и (15.3) ребер те-

траэдра, куба и октаэдра, вписанных в сферу радиуса R, являются

медиалями, выражение (15.4) ребра додекаэдра—вычет, и выражение

(15.5) ребра икосаэдра является <меньшей иррациональностью>.

Согласно комментариям Паппа, в трактате Аполлония теория ква-

дратичных иррациональностей Теэтета—Евклида дополнялась рассмо-

т√рением новых иррациональностей. Аполлоний определял триномиаль

a+

b+

c, квадриномиаль

a+

b+

c+

d и аналогичные поли-

н√омиали, состоящие из произвольного числа слагаемых. Если медиаль

ab является средней пропорциональной между линиями a и b, то

Аполлоний рассматривал также две средние пропорциональные между

линиями a и b, удовлетворяющие условию (2.2), три средние пропор-

циональные, удовлетворяющие условию

a:x=x:y=y:z=z:b, (16.1)

четыре средние пропорциональные, удовлетворяющие условию

a:x=x:y=y:z=z:t=t:b (16.2)

и т. д. Средняя пропорциональная x, удовлетворяющая условиям (2.2),

(16.1) и (16.2), равна, соответственно, 3

a2b, 4

a3b и 5

a4b. Таким образом,

Аполлоний наряду с квадратичными иррациональностями рассматривал

также кубические иррациональностиииррациональности высшихстепеней.

Под <упорядоченнымииррациональностями>Аполлонийпонимал иррацио-

нальности, перечисленныеЕвклидом, а <неупорядоченными иррациональ-

ностями> Аполлоний называл рассматриваемые им новые иррациональности.

Аполлоний указывал, что множество таких иррациональностей

бесконечно.

<Быстросчет>

Трактат Аполлония <Быстрое получение результатов> был посвящен

приближенному вычислению отношения длины окружности к диаметру,

которое рассматривалось Архимедом в <Измерении круга> [4, с. 266—

271]. Греческое название трактата Аполлониябуквально означает <быстрое

разрешение от бремени>. Переводчик сочинений Архимеда И. Н. Ве-

селовский рекомендовал переводить это название <Быстросчет> [4, с. 598].

В трактате Аполлония задача приближенного вычисления числа π

решалась более быстро, чем у Архимеда.