Иррациональности
Комментарии Паппа к X книге <Начал> Евклида, содержащие
сведения о сочинении Аполлония <О неупорядоченных иррациональ-
ностях>, сохранились только в арабском переводе Абу ‘Османа Са‘ида
ад-Димашки(Xв.). Этот перевод исследовалсяГ.Юнге иВ. Томсоном [47].
170
Раздел _____перевода ад-Димашки, относящийся к трактату Аполлония,
издан во французском переводе Ф. Вепке [58, с. 685—695].
В X книге <Начал> Евклида [9, т. 2, с. 101—256] была изложе-
на созданная Теэтетом теория квадратичных иррациональностей. Если
a и b—рациональные линии, т. е. прямолинейные отрезки, длины
которых равны произведениям длины единичного отрезка на рацио-
нальные числа, то к иррациональностям, рассматриваемым в X книге
<Начал> Евклида, относятся медиаль
√
ab, биномиаль
√
a+
√
√ b, вычет
a−
√
b, бимедиаль
p√
ab и их различные комбинации. Приведенные
в XIII книге <Начал> выражения (15.1), (15.2) и (15.3) ребер те-
траэдра, куба и октаэдра, вписанных в сферу радиуса R, являются
медиалями, выражение (15.4) ребра додекаэдра—вычет, и выражение
(15.5) ребра икосаэдра является <меньшей иррациональностью>.
Согласно комментариям Паппа, в трактате Аполлония теория ква-
дратичных иррациональностей Теэтета—Евклида дополнялась рассмо-
т√рением новых иррациональностей. Аполлоний определял триномиаль
a+
√
b+
√
c, квадриномиаль
√
a+
√
b+
√
c+
√
d и аналогичные поли-
н√омиали, состоящие из произвольного числа слагаемых. Если медиаль
ab является средней пропорциональной между линиями a и b, то
Аполлоний рассматривал также две средние пропорциональные между
линиями a и b, удовлетворяющие условию (2.2), три средние пропор-
циональные, удовлетворяющие условию
a:x=x:y=y:z=z:b, (16.1)
четыре средние пропорциональные, удовлетворяющие условию
a:x=x:y=y:z=z:t=t:b (16.2)
и т. д. Средняя пропорциональная x, удовлетворяющая условиям (2.2),
(16.1) и (16.2), равна, соответственно, 3
√
a2b, 4
√
a3b и 5
√
a4b. Таким образом,
Аполлоний наряду с квадратичными иррациональностями рассматривал
также кубические иррациональностиииррациональности высшихстепеней.
Под <упорядоченнымииррациональностями>Аполлонийпонимал иррацио-
нальности, перечисленныеЕвклидом, а <неупорядоченными иррациональ-
ностями> Аполлоний называл рассматриваемые им новые иррациональности.
Аполлоний указывал, что множество таких иррациональностей
бесконечно.
<Быстросчет>
Трактат Аполлония <Быстрое получение результатов> был посвящен
приближенному вычислению отношения длины окружности к диаметру,
которое рассматривалось Архимедом в <Измерении круга> [4, с. 266—
271]. Греческое название трактата Аполлониябуквально означает <быстрое
разрешение от бремени>. Переводчик сочинений Архимеда И. Н. Ве-
селовский рекомендовал переводить это название <Быстросчет> [4, с. 598].
В трактате Аполлония задача приближенного вычисления числа π
решалась более быстро, чем у Архимеда.