Правильные многогранники в <Началах> Евклида
Изучению правильных многогранников посвящена XIII книга <Начал> Евклида. Эта теория была создана любимым учеником Платона Теэтетом.
В XIII книге <Начал> приводятся следующие выражения L длин ребер правильных многогранников через радиус R сферы, в которую они вписаны:
для тетраэдра L=2
3
R
√
6, (15.1)
для куба L=2
3
R
√
3, (15.2)
для октаэдра L=R
√
2, (15.3)
для додекаэдра L=1
3
R(
√
15−
√
3), (15.4)
для икосаэдра L=1
5
R
q
10(5−
√
5). (15.5)
Если поставить в соответствие каждой грани
правильного многогранника центр описанного около
нее круга и считать полученные точки вершинами нового многогранника, мы получим правильный многогранник, двойственный исходному. Тетраэдр двойственен сам себе, куб и октаэдр двойственны друг другу, додекаэдр и икосаэдр также двойственны друг другу. Вершины одного из двух двойственных многогранников соответствуют плоскостям граней другого по принципу двойственности проективной геометрии.
XIV книга <Начал> Евклида Во многих рукописях <Начал> Евклида к 13 книгам этого труда были добавлены еще две книги, написанные другими авторами.
XIV книга была написана Гипсиклом, жившим во II в. до н. э.
Во введении к этой книге, адресованном Протарху, Гипсикл писал, что его отец и Василид из Тира изучали в Александрии трактат
Аполлония о сравнении вписанных в одну и ту же сферу додекаэдра
и икосаэдра. Они <пришли к мнению, что это не было правильно изло-
жено Аполлонием и они сами написали исправленный текст... Позднее
и мне самому попалась в руки другая изданная Аполлонием книга,
содержащая некоторое доказательство, касающееся вышеизложенно-
го, и я сам с большим воодушевлением занялся исследованием этой задачи. Теперь с изданной Аполлонием книгой можно, по-видимому,
всем ознакомиться, так как она находится в обращении, как кажется,
в позднейшей более тщательно написанной редакции; сам же я, напи-
савши в виде комментария все, что мне показалось нужным, решил
обратиться к тебе> [9, т. 3, с. 142].
Сочинение Гипсикла содержит восемь предложений, важнейшим
из которых является предложение 3: <Один и тот же круг охватыва-
ет и пятиугольник додекаэдра, и треугольник икосаэдра, вписанных
в ту же самую сферу> [9, т. 3, с. 144]. По поводу этого предложе-
ния Гипсикл писал: <Это излагается Аристеем в книге, озаглавленной
,,О сравнении пяти тел“ и Аполлонием во втором издании ,,Сравне-
ния додекаэдра с икосаэдром“, где доказывается, что как поверхность
додекаэдра к поверхности икосаэдра, так и сам додекаэдр будет отно-
ситься к икосаэдру вследствие того, что одна и та же прямая будет
перпендикуляром, опущенным из центра сферы как на пятиугольник
додекаэдра, так и на треугольник икосаэдра> [9, т. 3, с. 143].
Переводчик сочинения Гипсикла И. Н. Веселовский в примеча-
ниях к этому переводу [9, т. 3, с. 327], отмечал, что в этом сочинении
для квадрата AB и прямоугольника со сторонами AB и ΓΔ применяют-
ся те же выражения <apo AB> и <hypo AB, ΓΔ>, что и в <Конических
сечениях> Аполлония.
Сочинение Аполлония <Сравнение додекаэдра с икосаэдром>
Утверждение Аполлония, приведенное Гипсиклом, означает, что
отношение площадей поверхностей этих многогранников, вписанных
в одну и ту же сферу, равно отношению их объемов.
Предложение 8 Гипсикла гласит: <Как ребро куба к ребру ико-
саэдра, так и тело додекаэдра к телу икосаэдра> [9, т. 3, с. 149].
В этом предложении Гипсикл указал, чему равны отношения объемов
и площадей поверхностей додекаэдра и икосаэдра. Так как ребра куба
и икосаэдра, вписанных в ту же сферу, равны (15.2) и (15.5), то от-
ношение объемов и площадей, рассматривавшихся Аполлонием, равно
2
3
R
√
3
1
5
R
p
10(5−
√
5)
=
s
2
3
s
1−√1
5
.
Аристей, упомянутый Гипсиклом, был старшим современником
Евклида, написавшим одну из первых книг о конических сечени-
ях. Сочинение Аристея <Сравнение пяти тел>, так же как его трактат
о конических сечениях, не сохранились. Судя по названию, в этом
сочинении рассматривались все пять правильных многогранников
и, по-видимому, доказывалось, что для каждой пары двойственных правильных многогранников, вписанных в одну и ту же сферу, радиусы кругов, описанных около
их граней, равны. Для тетраэдра, который двойственен сам себе, это утверждение тривиально. То, что Аристей доказал это для додекаэдра и икосаэдра, засвидетельствовано Гипсиклом. Для куба и октаэдра, вписанных в сферу радиуса R, радиусы кругов, описанных около квадратных граней куба и треугольных граней октаэдра, равны 3R/2.
Доказательство Аполлония в трактате о додекаэдре и икосаэдре основано на двух фактах:
1) для любого правильного многогранника, вписанного в сферу
радиуса R, радиус r круга, описанного около его грани, и перпенди-
куляр h, опущенный из центра сферы на эту грань (рис. 88), связаны
соотношением
R2=r2+h2, (15.6)
2) следствие из предложения XII7 <Начал> Евклида [9, т. 3, с. 78],
в силу которого объем любой пирамиды равен трети произведения
площади ее основания на высоту. Так как Аристей доказал, что ра-
диусы r для додекаэдра и икосаэдра, вписанных в сферу радиуса R,
равны, из соотношения (15.6) следует, что для этих многогранников
перпендикуляры h также равны. Если мы обозначим площадь пяти-
угольной грани додекаэдра, вписанного в сферу радиуса R, буквой P,
P=1
6
q
10(5−
√
5), а площадь треугольной грани икосаэдра, вписанно-
го в ту же сферу, буквой T, T=
√
3
2
−
√
15
10
, то площадь поверхности
додекаэдра будет равна 12P, площадь поверхности икосаэдра—20T.
С другой стороны, каждый правильный многогранник можно разбить
на пирамиды, основаниями которых являются грани многогранника,
а вершинами—центр сферы. Объем каждой такой пирамиды додека-
эдра равен Ph/3, а объем каждой такой пирамиды икосаэдра равен
Th/3. Поэтому объем додекаэдра равен 4Ph, а объем икосаэдра равен
20Th/3. Отношение как площадей поверхностей, так и объемов этих
многогранников равно
12P
20T
= 4Ph
20Th/3
=3P
5T
=
s
2
3
s
1−√1
5
.
Подобным образом аналогичную теорему можно доказать для те-
траэдра, куба и октаэдра, вписанных в одну и ту же сферу (длина
ребра тетраэдра так же относится к длине ребра октаэдра, как объём куба к объёму октаэдра и как плозадь поверхности куба к площади
поверхности октаэдра). Если площадь грани куба равна Q, а площадь
грани октаэдра равна T, то площади поверхностей этих многогранни-
ков равны 6Q и 8T, а их объемы равны 2Qh и 8Th/3, и
6Q
8T
= 2Qh
8Th/3
=3Q
4T
=√2
3
.
По-видимому, Аристей доказал, что отношение площадей поверх-
ностей куба и октаэдра равно отношению их объемов, вычисляя эти
объемы более простым способом, например, считая, что объем куба ра-
вен кубу его ребра, объем октаэдра равен трети произведения квадрата
его ребра на диаметр сферы. Несомненно, что решение этой задачи
навело Аполлония на аналогичную задачу о додекаэдре и икосаэдре.
Заметим, что теоремы, аналогичные теореме Аристея о кубе и ок-
таэдре и теореме Аполлония о додекаэдре и икосаэдре, имеют место
для двойственных правильных многогранников в пространстве любого
числа измерений.