Правильные многогранники в <Началах> Евклида

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Изучению правильных многогранников посвящена XIII книга <Начал> Евклида. Эта теория была создана любимым учеником Платона Теэтетом.

В XIII книге <Начал> приводятся следующие выражения L длин ребер правильных многогранников через радиус R сферы, в которую они вписаны:

для тетраэдра L=2

3

R

6, (15.1)

для куба L=2

3

R

3, (15.2)

для октаэдра L=R

2, (15.3)

для додекаэдра L=1

3

R(

15−

3), (15.4)

для икосаэдра L=1

5

R

q

10(5−

5). (15.5)

Если поставить в соответствие каждой грани

правильного многогранника центр описанного около

нее круга и считать полученные точки вершинами нового многогранника, мы получим правильный многогранник, двойственный исходному. Тетраэдр двойственен сам себе, куб и октаэдр двойственны друг другу, додекаэдр и икосаэдр также двойственны друг другу. Вершины одного из двух двойственных многогранников соответствуют плоскостям граней другого по принципу двойственности проективной геометрии.

XIV книга <Начал> Евклида Во многих рукописях <Начал> Евклида к 13 книгам этого труда были добавлены еще две книги, написанные другими авторами.

XIV книга была написана Гипсиклом, жившим во II в. до н. э.

Во введении к этой книге, адресованном Протарху, Гипсикл писал, что его отец и Василид из Тира изучали в Александрии трактат

Аполлония о сравнении вписанных в одну и ту же сферу додекаэдра

и икосаэдра. Они <пришли к мнению, что это не было правильно изло-

жено Аполлонием и они сами написали исправленный текст... Позднее

и мне самому попалась в руки другая изданная Аполлонием книга,

содержащая некоторое доказательство, касающееся вышеизложенно-

го, и я сам с большим воодушевлением занялся исследованием этой задачи. Теперь с изданной Аполлонием книгой можно, по-видимому,

всем ознакомиться, так как она находится в обращении, как кажется,

в позднейшей более тщательно написанной редакции; сам же я, напи-

савши в виде комментария все, что мне показалось нужным, решил

обратиться к тебе> [9, т. 3, с. 142].

Сочинение Гипсикла содержит восемь предложений, важнейшим

из которых является предложение 3: <Один и тот же круг охватыва-

ет и пятиугольник додекаэдра, и треугольник икосаэдра, вписанных

в ту же самую сферу> [9, т. 3, с. 144]. По поводу этого предложе-

ния Гипсикл писал: <Это излагается Аристеем в книге, озаглавленной

,,О сравнении пяти тел“ и Аполлонием во втором издании ,,Сравне-

ния додекаэдра с икосаэдром“, где доказывается, что как поверхность

додекаэдра к поверхности икосаэдра, так и сам додекаэдр будет отно-

ситься к икосаэдру вследствие того, что одна и та же прямая будет

перпендикуляром, опущенным из центра сферы как на пятиугольник

додекаэдра, так и на треугольник икосаэдра> [9, т. 3, с. 143].

Переводчик сочинения Гипсикла И. Н. Веселовский в примеча-

ниях к этому переводу [9, т. 3, с. 327], отмечал, что в этом сочинении

для квадрата AB и прямоугольника со сторонами AB и ΓΔ применяют-

ся те же выражения <apo AB> и <hypo AB, ΓΔ>, что и в <Конических

сечениях> Аполлония.

Сочинение Аполлония <Сравнение додекаэдра с икосаэдром>

Утверждение Аполлония, приведенное Гипсиклом, означает, что

отношение площадей поверхностей этих многогранников, вписанных

в одну и ту же сферу, равно отношению их объемов.

Предложение 8 Гипсикла гласит: <Как ребро куба к ребру ико-

саэдра, так и тело додекаэдра к телу икосаэдра> [9, т. 3, с. 149].

В этом предложении Гипсикл указал, чему равны отношения объемов

и площадей поверхностей додекаэдра и икосаэдра. Так как ребра куба

и икосаэдра, вписанных в ту же сферу, равны (15.2) и (15.5), то от-

ношение объемов и площадей, рассматривавшихся Аполлонием, равно

2

3

R

3

1

5

R

p

10(5−

5)

=

s

2

3

s

1−√1

5

.

Аристей, упомянутый Гипсиклом, был старшим современником

Евклида, написавшим одну из первых книг о конических сечени-

ях. Сочинение Аристея <Сравнение пяти тел>, так же как его трактат

о конических сечениях, не сохранились. Судя по названию, в этом

сочинении рассматривались все пять правильных многогранников

и, по-видимому, доказывалось, что для каждой пары двойственных правильных многогранников, вписанных в одну и ту же сферу, радиусы кругов, описанных около

их граней, равны. Для тетраэдра, который двойственен сам себе, это утверждение тривиально. То, что Аристей доказал это для додекаэдра и икосаэдра, засвидетельствовано Гипсиклом. Для куба и октаэдра, вписанных в сферу радиуса R, радиусы кругов, описанных около квадратных граней куба и треугольных граней октаэдра, равны 3R/2.

Доказательство Аполлония в трактате о додекаэдре и икосаэдре основано на двух фактах:

1) для любого правильного многогранника, вписанного в сферу

радиуса R, радиус r круга, описанного около его грани, и перпенди-

куляр h, опущенный из центра сферы на эту грань (рис. 88), связаны

соотношением

R2=r2+h2, (15.6)

2) следствие из предложения XII7 <Начал> Евклида [9, т. 3, с. 78],

в силу которого объем любой пирамиды равен трети произведения

площади ее основания на высоту. Так как Аристей доказал, что ра-

диусы r для додекаэдра и икосаэдра, вписанных в сферу радиуса R,

равны, из соотношения (15.6) следует, что для этих многогранников

перпендикуляры h также равны. Если мы обозначим площадь пяти-

угольной грани додекаэдра, вписанного в сферу радиуса R, буквой P,

P=1

6

q

10(5−

5), а площадь треугольной грани икосаэдра, вписанно-

го в ту же сферу, буквой T, T=

3

2

15

10

, то площадь поверхности

додекаэдра будет равна 12P, площадь поверхности икосаэдра—20T.

С другой стороны, каждый правильный многогранник можно разбить

на пирамиды, основаниями которых являются грани многогранника,

а вершинами—центр сферы. Объем каждой такой пирамиды додека-

эдра равен Ph/3, а объем каждой такой пирамиды икосаэдра равен

Th/3. Поэтому объем додекаэдра равен 4Ph, а объем икосаэдра равен

20Th/3. Отношение как площадей поверхностей, так и объемов этих

многогранников равно

12P

20T

= 4Ph

20Th/3

=3P

5T

=

s

2

3

s

1−√1

5

.

Подобным образом аналогичную теорему можно доказать для те-

траэдра, куба и октаэдра, вписанных в одну и ту же сферу (длина

ребра тетраэдра так же относится к длине ребра октаэдра, как объём куба к объёму октаэдра и как плозадь поверхности куба к площади

поверхности октаэдра). Если площадь грани куба равна Q, а площадь

грани октаэдра равна T, то площади поверхностей этих многогранни-

ков равны 6Q и 8T, а их объемы равны 2Qh и 8Th/3, и

6Q

8T

= 2Qh

8Th/3

=3Q

4T

=√2

3

.

По-видимому, Аристей доказал, что отношение площадей поверх-

ностей куба и октаэдра равно отношению их объемов, вычисляя эти

объемы более простым способом, например, считая, что объем куба ра-

вен кубу его ребра, объем октаэдра равен трети произведения квадрата

его ребра на диаметр сферы. Несомненно, что решение этой задачи

навело Аполлония на аналогичную задачу о додекаэдре и икосаэдре.

Заметим, что теоремы, аналогичные теореме Аристея о кубе и ок-

таэдре и теореме Аполлония о додекаэдре и икосаэдре, имеют место

для двойственных правильных многогранников в пространстве любого

числа измерений.