Правильные многогранники в философии Платона

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Сочинение Аполлония <Сравнение додекаэдра с икосаэдром> по-

священо теории правильных многогранников.

Правильные многогранники были открыты пифагорейцами и игра-

ли важную роль в философии Платона (425—347 гг. до н. э.), вслед-

ствие чего эти многогранники часто называют <платоновыми телами>.

Грани правильных многогранников являются правильными мно-

гоугольниками, с каждой вершиной правильного многогранника также

связан правильный многоугольник, называемый <вершинной фигу-

рой>. Вершинами этого многоугольника являются середины ребер,

выходящих из вершины многогранника.

Имеются пять правильных многогранников: тетраэдр (треугольная

пирамида), гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Названия

этих многогранников состоят из греческих числительных, означающих,

соответственно, 4, 6, 8, 12 и 20, и слова hedra—<грань>, или <основание>.

Тетраэдр имеет 4 грани и 4 вершины, куб—6 граней и 8 вершин,

октаэдр—8 граней и 6 вершин, додекаэдр—12 граней и 20 вершин,

икосаэдр—20 граней и 12 вершин.

Гранями этих многогранников являются, соответственно, треуголь-

ники, квадраты, треугольники, пятиугольники, треугольники. Вер-

шинными фигурами этих многогранников являются, соответственно,

треугольники, треугольники, квадраты, треугольники, пятиугольники

(рис. 86, а—д).

В диалоге <Тимей> Платон вложил в уста пифагорейца Тимея следу-

ющие слова: <Теперь должно сказать, каковыже те четыре рожденных тела,

прекраснейшие из всех, которые не подобны друг другу, однако способны,

разрушаясь, друг в друга перерождаться. Если нам удастся попасть

в точку, у нас в руках будет истина о рождении земли и огня, а равно

и тех [стихий], что стоят между ними как средние члены пропорции...

Начнем с первого вида, состоящего из самых малых частей:

его первоначало—треугольник, у которого гипотенуза вдвое длиннее

меньшего катета. Если такие треугольники сложить, совмещая их ги-

потенузы, и повторить такое действие трижды, притом так, чтобы меньшие катеты и гипотенузы сошлись в одной точке как в своем центре, то из шестикратного числа треугольников будет рожден один, и он будет равносторонним. Когда же четыре равносторонних

треугольника окажутся соединенными в три двугранных угла, они образуют один объемный угол,

аименно такой, которыйзанимаетместо вслед за самым

тупым из плоских углов. Завершив построение че-

тырех таких углов, мы получаем первый объемный

вид, имеющий свойство делить всю описанную

около него сферу на равные и подобные части.

Второй вид строится из таких же исходных

треугольников, соединившихся по восемь в равно-

сторонний треугольник и образующих каждый раз

из четырех плоских углов по одному объемному;

когда таких объемных углов шесть, второе тело по-

лучает завершенность.

Третий вид образуется из сложения ста два-

дцати [восьми] исходных треугольников и двена-

дцати объемных углов, каждый из которых охвачен

пятью равносторонними треугольными плоскостя-

ми, так что все тело имеет двадцать граней, явля-

ющих собой равносторонние треугольники.

На этом порождении и кончилась задача пер-

вого из первоначал. Но равнобедренный треуголь-

ник породил природу четвертого [вида], и притом

так, что четыре треугольника, прямые углы ко-

торых встречались в одном центре, образовывали

квадрат; а из сложения шести квадратов возникало

восемь объемных углов, каждый из которых гар-

монично охватывается тремя плоскими прямыми

углами. Составившееся таким образом тело имело

очертания куба, наделенного шестью квадратными

плоскими гранями. В запасе оставалось еще пятое

многогранное построение; его Бог определил для

Вселенной и прибегнул к нему, когда разрисовы-

вал его и украшал...

Начнем разделять роды, только что рожденные

в нашем слове, на огонь, землю, воду и воздух.

Земле мы, конечно, припишем вид куба: ведь

из всех четырех родов наиболее неподвижна и при-

годна к образованию тел именно земля, а потому

ей необходимо иметь самые устойчивые основа-

ния. Между тем не только из наших исходных

треугольников равносторонний, если взять его как основание, по природе устойчивее неравностороннего, но и образующийся из сложения двух равно[бедренных] треугольников квадрат

с необходимостью более устойчив, нежели равносторонний треуголь-

ник, причем соотношения это сохраняет силу как для частей, так и для

целого. Значит, мы не нарушим правдоподобия, если назначим этот

удел земле, а равно и в том случае, если наименее подвижный из всех

остальных видов отведем воде, наиболее подвижный—огню, а сред-

ний—воздуху; далее, наименьшее тело—огню, наибольшее—воде,

а среднее—воздуху, и, наконец, самое остроугольное тело—огню, сле-

дующее за ним—воздуху, а третье—воде. Но из всех вышеназванных

тел наиболее подвижно по природе своей и по необходимости то, у ко-

торого наименьшее число оснований, ибо оно со всех сторон имеет

наиболее режущие грани и колющие углы, а к тому же оно и самое

легкое, коль скоро в его состав входит наименьшее число исходных

частей. То тело, которое обладает такими же свойствами, но второ-

го порядка, и место займет второе, а то, которое обладает третьим

порядком этих свойств,—третье. Пусть же образ пирамиды, рожден-

ный объемным, и будет, в согласии со справедливым рассуждением

и с правдоподобием, первоначалом и семенем огня; вторым по рожде-

нию мы назовем воздух, третьим же—воду. Но при этом мы должны

представить себе, что все эти [тела] до такой степени малы, что еди-

ничное [тело] каждого из перечисленных родов по причине своей

малости для нас невидимо, и лишь складывающиеся из их множеств

массы бросаются нам в глаза> [14, с. 495—499].

<Стихиями> (stoicheia) греки называли четыре элемента, из кото-

рых состоит подлунный мир,—огонь, воздух, воду и землю. В назва-

ниях сочинений Евклида это слово принято переводить <начала>. Под

<пропорцией> Платон имел в виду соотношение (2.2), в которое вхо-

дит четыре величины a, x, y, b. В приведенном нами рассуждении

обосновывалось, что атомы огня имеют форму тетраэдра, атомы воз-

духа—октаэдра, атомы воды—икосаэдра, атомы земли—куба, а мир

в целом имеет форму додекаэдра. Слова о том, что <Бог разрисовывал

и украшал> пятый многогранник, означают, что, по мнению Тимея,

на 12 гранях мира, имеющего форму додекаэдра, были изображения

12 знаков зодиака.

Поэтому средневековые математики называли тетраэдр <телом ог-

ня>, октаэдр—<телом воздуха>, икосаэдр—<телом воды>, куб—<телом

земли>, а додекаэдр—<телом неба>. Последнее название было связа-

но также с тем, что форма додекаэдра приписывалась атомам эфира,

из которого, по мнению средневековых ученых, состоят небесные сфе-

ры и планеты.

Платон заимствовал учение об атомах элементов у древних атоми-

стов, которые считали атомы неделимыми, что и означает слово atomos.

Платон никогда не употреблял слово <атом>, так как считал атомы

делимыми и полагал, что грани атомов можно представить в виде комбинации треугольников. На рис. 87, а—г изображены подразделения Платона граней правильных

многогранников на треугольники.