Реконструкция Хабелашвили

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

А. В. Хабелашвили [22] предложил элементарное решение задачи о проведении окружности, касающейся трех данных окружностей, которым, по его мнению, должен был пользоваться Аполлоний.

В работе [22] указаны решения этой задачи многими математиками от Паппа до Я. Штейнера,

А.Ф. Мебиуса,Ж. Лиувилля иА.Кэли, решавших эту задачу с помощью применения инверсии относительно окружности. Хабелашвили считал, что <во всех без исключений решениях задачи Аполлония авторы используют геометрические факты, свойства геометрических фигур или же геометрические понятия, неизвестные математикам в эпоху Аполлония> [22, с. 9].

Реконструкция решения этой задачи Аполлония, предложеннав работе [22], состоит в следующем. Пусть на плоскости Γ заданы триокружности O1, O2 и O3 и требуется провести окружность O, касающуюся этих окружностей внешним образом. <Построим на данных кругах,

как на основаниях, три прямых конуса AO1, BO2, CO3 с одинаковы-

ми углами α при вершинах [A, B и C], а четвертый круговой прямой

конус DO с таким же углом α при вершине, произвольным радиусом

основания и высотой, параллельной высотам построенных конусов, напра-

вим вершиной D вниз к плоскости Γ и, сохраняя параллельность вы-

сот, будем перемещать его до тех пор, пока он не коснется одновремен-

но всех трех конусов внешним образом. Коническая поверхность DO

пересечет плоскость Γ по искомой окружности O> [22, с. 10] (рис. 83).

В случае, когда окружность O должна касаться трех данных ок-

ружностей внутренним образом, конус DO направляется вершиной вверх.

В случае, когда окружность O должна касаться одних из данных

окружностей внешним образом, а других—внутренним образом, ко-

нусы на данных кругах строятся так, чтобы их касания с конусом DO

были одного рода с касаниями соответствующих кругов. В общем слу-

чае задача имеет восемь решений.

Далее на основе этого стереометрического решения задачи Апол-

лония, Хабелашвили излагает планиметрическое решение с помощью

циркуля и линейки. Для этого рассматривается эллипс, по которому

плоскость ABC пересекается с конусом DO. По углу 2α при вер-

шине конуса и углу β между плоскостями ABC и Γ по формуле

(6.26) определяется отношение полуосей эллипса. Большая ось эллип-

са перпендикулярна линии пересечения плоскостей ABC и Γ. Так как

конус DO касается конусов AO1, BO2 и CO3 по их прямолинейным

образующим, конус DO проходит через вершины A, B и C этих ко-

нусов, поэтому через точки A, B и C проходит и эллипс, по которому

поверхность конуса DO пересекается с плоскостью ABC.

Планиметрическое решение Хабелашвили задачи Аполлония го-

раздо сложнее решения задачи Аполлония с помощью инверсии, которая, как мы видели в главе 10, была известна Аполлонию за несколько столетий до Штейнера, Мебиуса и Лиувилля.

Сущность стереометрической реконструкции Хабелашвили состоит в следующем. Если мы поставим в соответствие всякой окружности (10.1) на плоскости Γ точку пространства с координатами x=x0, y=y0, z=r, мы отобразим многообразие всех окружностей плоскости на полупространство, ограниченное плоскостью z=0. Для того чтобы отобразить многообразие окружностей на все пространство, следует различать ориентацию окружностей и ставить в соответствие всякой окружности, ориентированной в положительном направлении, т. е.

против часовой стрелки, точку с положительной координатой z, а всякой окружности, ориентированной в отрицательном направлении,—точку с отрицательной координатой z.

Это изображение точек пространства окружностями было предложено Евграфом Степановичем

Федоровым (1853—1919) [21].

Если две окружности обладают общими касательными, то число этих касательных не более четырех и расстояния между точками касания на этих касательных попарно равны. В случае ориентированных окружно-стей рассматриваются только такие их общие касательные, на кото-

рых ориентации окружностей определяют одно и то же направление

(рис. 84, а, б). В этом случае расстояние между точками каса-

ния d называется <касательным расстоянием> между ориентирован-

ными окружностями. Если две ориентированные окружности изобра-

жаются точками пространства с координатами x1, y1, z1 и x2, y2, z2,

то касательное расстояние d между ориентированными окружностями

выражается через координаты точек по формуле

d2=(x2

−x1)2+(y2

−y1)2−(z2

−z1)2. (14.5)

Формула (14.5) отличается от формулы (11.8) только обозначения-

ми координат. Поэтому пространство, в котором расстояние d между

точками определяется по формуле (14.5), является псевдоевклидовым

пространством.

Изотропные прямые этого пространства изображают параболиче-

ские пучки окружностей, состоящие из окружностей, касающихся друг

друга (рис. 85).

Движения псевдоевклидова пространства определяют преобразо-

вания в многообразии окружностей, переводящие точки в окружности.

Эти преобразования совпадают с преобразованиями Лагерра.

Вершины конусов, рассматривавшихся Хабелашвили, изображают окружности,

по которым поверхности этих конусов пересекаются с плоскостью z=0. Реконструкция Хабелашвили основана на том,

что прямолинейные образующие этих конусов изображают параболические пучки окружностей.

Если A, B и C —три точки псевдоевклидова пространства, изображающие окружности или точки плоскости, то каждая из этих точек является вершиной конической поверхности, состоящей из изотропных прямых. Две из этих поверхностей

пересекаются по линии, которая имеет с третьей конической поверхностью одну или несколько общих точек, изображающих окружности, которые являются решениями соответственных задач Аполлония.

Конформная и контактная интерпретации

Задача Аполлония о проведении окружности, касающейся трех

данных окружностей, кроме интерпретации, связанной с преобразованиями Лагерра, допускает также интерпретации, связанные с круговыми и контактными преобразованиями.

Многообразие окружностей конформной плоскости, если считать

за расстояние между окружностями вещественный или мнимый угол

между ними, изометрично области проективного пространства, являю-

щейся внешней областью овальной поверхности второго порядка

X2+Y2+Z2−U2=0, (14.6)

если координаты точек этой области нормированы условием

X2+Y2+Z2−U2=1, (14.7)

а расстояния d между точками с координатами (X1, Y1, Z1, U1)

и (X2, Y2, Z2, U2) определяются по формуле

cos d=X1X2+Y1Y2+Z1Z2

−U1U2. (14.8)

Внешняя область поверхности (14.6), между точками которой

определено расстояние d по формуле (14.8), называется псевдоэлли-

птическим пространством.

Окружность (8.29) изображается в псевдоэллиптическом простран-

стве точкой с координатами

X=

x20

+y20

−r2−1

2r

, Y=

x20

r

, Z=

y20

r

, U=

x20

+y20

−r2+1

2r

. (14.9)

Прямые линии псевдоэллиптического пространства, не пересе-

кающие поверхность (14.6), называются эллиптическими прямыми

и изображают эллиптические пучки окружностей, эти линии замкнуты

и имеют конечную длину π, длины отрезков этих линий вещественны.

Прямые линии псевдоэллиптического пространства, пересекающие

поверхность (14.6), называются гиперболическими прямыми и изо-

бражают гиперболические пучки окружностей, длины отрезков этих

линий чисто мнимы, эти прямые бесконечны.

Прямые линии псевдоэллиптического пространства, касающиеся

поверхности (14.6), называются изотропными прямыми. Они изобра-

жают параболические пучки окружностей, длины отрезков этих линий

равны нулю.

Если A, B и C —три точки псевдоэллиптического пространства,

изображающие три окружности или прямые, то изотропные прямые,

выходящие из этих точек, образуют три конические поверхности, ка-

сающиеся поверхности (14.6). Две из этих конических поверхностей

пересекаются по линии, эта линия имеет с третьей конической поверх-

ностью одну или несколько общих точек, изображающих окружности,

являющиеся решениями соответствующих задач Аполлония.

Аналогично, если A, B и C —три точки гиперповерхности (14.1),

изображающие три окружности контактной геометрии, каждая из этих

точек является вершиной конической поверхности, состоящей из пря-

молинейных образующих гиперповерхности (14.1). Эти конические

поверхности являются пересечениями гиперповерхности (14.1) с ка-

сательными гиперплоскостями к ней в точках A, B и C. Две из этих

конических поверхностей также пересекаются по линии, эта линия

имеет с третьей конической поверхностью одну или несколько об-

щих точек, изображающих окружности, являющиеся решениями всех

10 задач сочинения Аполлония <Касания>.

Заметим, что П. Ферма обобщил результаты сочинения Аполлония

<Касания> на пространство и доказал, что для четырех сфер можно

построить такую сферу, которая касается каждой из них. Построения

Ферма допускают интерпретации в конформном пространстве, в геоме-

трии пространственных преобразований Лагерра и в пространственной

контактной геометрии. Эти интерпретации аналогичны интерпретаци-

ям построений Аполлония.