Сочинение Аполлония <Касания>
Согласно описанию Паппа, не дошедшее до нас сочинение Апол-
лония <Касания> состояло из двух книг. В этом сочинении решалась
задача: провести окружность, касающуюся трех объектов, которые мо-
гут быть окружностями, прямыми и точками. Эта задача решалась:
1) для трех точек, 2) для двух точек и прямой, 3) для точки и двух
прямых, 4) для трех прямых, 5) для двух точек и окружности, 6) для
точки и двух окружностей, 7) для двух прямых и окружности, 8) для
прямой и двух окружностей, 9) для точки, прямой и окружности,
10) для трех окружностей.
Во II книге решались задачи 7) и 10) и рассматривалось много
частных случаев этих задач. Остальные восемь задач решались в I книге.
Все 10 задач этого сочинения Аполлония можно сформулировать
единообразно: провести окружность, касающуюся трех окружностей
контактной геометрии.
Многие задачи сочинения <Касания> сохранились в арабском пе-
реводе в книге Ибрахима ибн Синана <Избранные задачи>. Некоторые
из них переведены на английский язык (в статье [44]) и на русский
язык (в статье [12]).
В переводе ибн Синана отсутствует изложение задачи 6), в кото-
рой требовалось провести окружность, касающуюся двух окружностей
с центрами A и B и проходящую через точку C (рис. 80, а). По-видимо-
му, Аполлоний решал эту задачу следующим образом. Он производил
инверсию относительно какой-нибудь окружности с центром C. При
этой инверсии точка C переходит в бесконечно удаленную точку, а окружности с центрами A и B—в окружности с центрами K и L. Далее проводилась прямая MN, касающаяся этих двух окружностей в точках M и N (рис. 80, б). Затем та же инверсия производилась еще раз. При этом
бесконечно удаленная точка переходила в точку C, окружности с центрами K и L переходили
в окружности с центрами A и B, прямая MN
переходила в окружность CDE, касающуюся двух данных окружностей.
Как видно из перевода ибн Синана, Аполлоний начал рассмотрение задачи 10) с того случая, когда три окружности с центрами A, B и C имеют один и тот же радиус r (рис. 81).
Аполлоний проводил окружность ABC, и искомая окружность имела тот же центр, что окружность ABC, и радиус, меньший радиуса окружности ABC на величину r.
Общий случай, когда окружности с центрами A, B и C имеют радиусы r1, r2 и r3
(рис. 82), Аполлоний сводил к задаче 6) о проведении окружности, которая проходит через точку и касается двух окружностей. Для этого в случае, когда r3 —наименьший из радиусов, Аполлоний строил окружности с центрами A и B и радиусами r1
−r3 и r2
−r3 и проводил
через точку C окружность, касающуюся этих двух окружностей. Искомая окружность имеет тот же центр, что и окружность, проходящая через точку C, и радиус, меньший радиуса этой окружности на величину r3.
Заметим, что Ф. Виет в своей реконструкции <Касаний> Аполлония также сводил задачу о проведении окружности, касающейся трех данных окружностей, к задаче о проведении через данную точку окружности, касающейся двух данных окружностей.