Контактные преобразования

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Термин <контактная геометрия> применяется в несколькихзначениях.

Мы будем понимать под этим термином, как в работе [19], геоме-

трию окружностей и сфер, основанную Софусом Ли (1842—1899) [49].

Ф. Клейн называл эту геометрию<высшей геометрией окружностей и сфер>.

В отличие от аффинной, проективной и конформной геометрий,

изучающих преобразования плоскостей, переводящие точки этих плос-

костей в точки, а прямые в прямые или окружности в окружности,

контактная геометрия изучает такие преобразования плоскости, при

которых точки могут перейти в точки, окружности или прямые, окруж-

ности могут перейти в окружности, точки или прямые, а прямые—

в прямые, окружности или точки, причем сохраняется касание окруж-

ностей и прямых и принадлежность точек прямым и окружностям.

Такие преобразования называются <контактными преобразованиями>.

В контактной геометрии точки рассматриваются как окружности ну-

левого радиуса, а прямые—как окружности бесконечного радиуса,

принадлежность точки прямой или окружности рассматривается как

частный случай касания.

Софус Ли показал, что контактные преобразования плоскости

образуют группу, зависящую от 10 параметров, изоморфную группе

проективных преобразований четырехмерного пространства, переводя-

щих в себя гиперповерхность второго порядка

X2+Y2+Z2−U2−V2=0. (14.1)

Точки гиперповерхности (14.1) изображают окружности контакт-

ной геометрии. При этом окружности (8.29) ставится в соответствие

точка гиперповерхности (14.1) с координатами

X=

x20

+y20

−r2−1

2

, Y=x0, Z=y0, U=

x20

+y20

−r2+1

2

, V=r. (14.2)

Точке с координатами x0, y0 ставится в соответствие точка ги-

перповерхности (14.1) с координатами (14.2) при r=0. Прямой ux+

+vy+w=0 ставится в соответствие точка гиперповерхности (14.1)

156

с координатами

X=u2+v2−w2−1

2

, Y=u, Z=v, U=u2+v2−w2+1

2

, V=w. (14.3)

При этом всякие две окружности контактной геометрии, касающиеся

друг друга, изображаются двумя точками гиперповерхности, коорди-

наты которых удовлетворяют условию

X1X2+Y1Y2+Z1Z2

−U1U2

−V1V2=0. (14.4)

Условие (14.4) означает, что эти две точки лежат на одной прямоли-

нейной образующей гиперповерхности (14.1).

Подгруппа группы контактных преобразований, переводящая точ-

ки в точки, является группой круговых преобразований плоскости.

Подгруппа группы контактных преобразований, переводящая прямые

в прямые, называется группой преобразований Лагерра по имени

Эдмонда Лагерра (1834—1886), впервые рассмотревшего эти преобра-

зования в работе [48].