Решение алгебраических уравнений с помощью конических сечений

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Решение Менехма задачи об удвоении куба было еще в древности

обобщено на задачу об определении двух средних пропорциональных

x и y между двумя данными величинами a и b, которые удовлетворяют

условию (2.2). Эта задача, равносильная кубическому уравнению x3=

=a2b, решалась с помощью пересечения двух парабол x2=ay и y2=bx.

Задача об удвоении куба является частным случаем этой задачи при b=2a.

Архимед в предложении II4 сочинения <О шаре и цилиндре>

поставил задачу, равносильную кубическому уравнению

x3+aS=bx2, (13.3)

где a и b—данные отрезки, S —данная площадь. Архимед впослед-

ствии решил эту задачу с помощью пересечения параболы и гиперболы.

Математики средневекового Востока решали многие задачи, равно-

сильные кубическим уравнениям, с помощью пересечения конических

сечений. Сабит ибн Корра решил задачу о трисекции угла с помощью

пересечения окружности и равносторонней гиперболы.

Аль-Хазин (ум. ок. 970), не знавший о решении Архимеда зада-

чи, сводящейся к уравнению (13.3), дал новое решение этой задачи

с помощью пересечения конических сечений.

Ибн аль-Хайсам решил задачу о построении правильного семиуголь-

ника с помощью пересечения параболы и равносторонней гиперболы.

Омар Хайям в <Книге о доказательствах задач алгебры и алмука-

балы> [23] дал полную классификацию кубических уравнений, имею-

щих положительные корни. Для каждого из 19 кубических уравнений

этого типа, не сводящихся к линейным и квадратным уравнениям,

Хайям указал решение с помощью пересечения окружностей, равно-

сторонних гипербол с горизонтальными и вертикальными осями или

асимптотами и парабол с горизонтальными или вертикальными осями.

Математики средневекового Востока применяли конические сече-

ния для решения алгебраических уравнений четвертой степени. Аль-

Кухи решал с помощью пересечения двух гипербол задачу о построе-

нии равностороннего пятиугольника, вписанного в квадрат, сводящу-

юся к уравнению x4+32a4=4ax3+52a2x2+16a3x.

Ибн аль-Хайсам в своей знаменитой <Книге оптики> находил

точки сферических, цилиндрических и конических зеркал, в которых

луч, выходящий из данной точки A, отражается в данную точку B. Эти

задачи также равносильны уравнениям четвертой степени. Ибн аль-

Хайсам решал их с помощью пересечения двух гипербол.

При решении уравнений четвертой степени применялись конические

сечения более общего вида, чем при решении кубических уравнений.

Аль-Каши в своей книге <Ключ арифметики> сообщал, что напи-

сал книгу о классификации уравнений четвертой степени и для каждо-

го уравнения указал способ его решения с помощью пересечения ко-

нических сечений общего вида. Эта книга аль-Каши до нас не дошла.

При доказательстве предложения V52 <Конических сечений> Апол-

лоний решал задачу об определении двух средних пропорциональных

между двумя данными величинами, выражаемую пропорциями (2.2).

Эта задача равносильна кубическому уравнению.

Выше мы упоминали, что задача проведения нормалей к парабо-

ле в предложении V51 равносильна кубическому уравнению, а задача

проведения нормалей к эллипсу и гиперболе в предложении V52 рав-

носильна уравнению четвертой степени.

<Общий трактат>

Математик V в. н. э. Марин в своих комментариях к геометриче-

скому трактату Евклида <Данные> вместе со <Вставками> Аполлония

упомянул сочинение Аполлония <Общий трактат> (Katholouo pragmateia)

[25, т. 1, с. 68—70]. Название этого трактата показывает, что

методы решения геометрических задач в этом трактате были более об-

щими, чем во <Вставках>.

Возможно, что в этом трактате Аполлоний описал, каким образом он

пришел к пропорциям, из которых в предложениях I11—I13 он вывел урав-

нения параболы, гиперболы и эллипса, и как он пришел к пропорциям,

равносильным алгебраическим уравнениям эволют конических сечений,

приведенным им в предложениях V52 и V53 <Конических сечений>.