<Отсечения> Аполлония
В сочинении Аполлония <Отсечение отношения> решаются задачи
о таком пересечении двух прямых третьей, при котором на первых двух
прямых отсекаются отрезки x и x_ , связанные условием x_/x=k, где k—
постоянное отношение. К таким задачам относится предложение III41
<Конических сечений>. В главе 8 мы показали, что в этих задачах при
данном k отсекающие прямые являются касательными к некоторым
коническим сечениям.
Согласно описанию Паппа, в сочинении Аполлония <Отсечение
площади> решаются задачи о таком пересечении двух прямых третьей,
при котором на первых двух прямых отсекаются отрезки x и x_ , являющиеся сторонами прямоугольника данной площади. Это условие
можно записать в виде xx_=k, где k—постоянная площадь. К таким
задачам относятся предложения III42 и III43 <Конических сечений>.
В главе 8 мы показали, что в таких задачах отсекающие прямые при
данном k также являются касательными к коническим сечениям.
Задачу Архимеда о построении правильного семиугольника, при
решении которой применялась вставка, уравновешивающая площади
двух треугольников, можно рассматривать как задачу об отсечении пло-
щадей в отношении 1:1. Поэтому возможно, что в упоминаемом ибн
ан-Надимом трактате Аполлония <Отсечение площадей в отношении>
применялась такая же вставка, как в трактате Архимеда о правильном
семиугольнике. Эти задачи равносильны кубическим уравнениям.
Так как трактат с таким названием не упоминается Паппом,
по-видимому, он является частью <Отсечения площади>.
К трактатам Аполлония об отсечении отношения и площади при-
мыкает его сочинение <Определенное сечение>. В этом трактате рас-
сматривались задачи типа: на прямой заданы четыре точки A, B,
C, D. Требуется найти такую точку P этой прямой, чтобы отношение
(AP・CP):(BP・DP) имело бы заданное значение или чтобы это отно-
шение было бы максимальным или минимальным. Последняя задача
равносильна определению экстремума функции, являющейся отноше-
нием двух многочленов второй степени.