<Отсечения> Аполлония

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

В сочинении Аполлония <Отсечение отношения> решаются задачи

о таком пересечении двух прямых третьей, при котором на первых двух

прямых отсекаются отрезки x и x_ , связанные условием x_/x=k, где k—

постоянное отношение. К таким задачам относится предложение III41

<Конических сечений>. В главе 8 мы показали, что в этих задачах при

данном k отсекающие прямые являются касательными к некоторым

коническим сечениям.

Согласно описанию Паппа, в сочинении Аполлония <Отсечение

площади> решаются задачи о таком пересечении двух прямых третьей,

при котором на первых двух прямых отсекаются отрезки x и x_ , являющиеся сторонами прямоугольника данной площади. Это условие

можно записать в виде xx_=k, где k—постоянная площадь. К таким

задачам относятся предложения III42 и III43 <Конических сечений>.

В главе 8 мы показали, что в таких задачах отсекающие прямые при

данном k также являются касательными к коническим сечениям.

Задачу Архимеда о построении правильного семиугольника, при

решении которой применялась вставка, уравновешивающая площади

двух треугольников, можно рассматривать как задачу об отсечении пло-

щадей в отношении 1:1. Поэтому возможно, что в упоминаемом ибн

ан-Надимом трактате Аполлония <Отсечение площадей в отношении>

применялась такая же вставка, как в трактате Архимеда о правильном

семиугольнике. Эти задачи равносильны кубическим уравнениям.

Так как трактат с таким названием не упоминается Паппом,

по-видимому, он является частью <Отсечения площади>.

К трактатам Аполлония об отсечении отношения и площади при-

мыкает его сочинение <Определенное сечение>. В этом трактате рас-

сматривались задачи типа: на прямой заданы четыре точки A, B,

C, D. Требуется найти такую точку P этой прямой, чтобы отношение

(APCP):(BPDP) имело бы заданное значение или чтобы это отно-

шение было бы максимальным или минимальным. Последняя задача

равносильна определению экстремума функции, являющейся отноше-

нием двух многочленов второй степени.