<Вставки> Архимеда
Сочинение Аполлония <Вставки> не сохранилось, но, согласно
описанию Паппа, в нем излагалось решение многих геометрических
задач с помощью <вставок>.
Задачи такого типа встречались в сочинениях Архимеда. В <Лем-
мах> [4, с. 395—396] с помощью вставки (neusis) решалась задача
трисекции угла, т. е. деления угла на три равные части. Под встав-
кой здесь имелась в виду линейка с отмеченными на ней двумя
точками. Для решения этой задачи Архимед описывал из центра O
полуокружность ABC радиусом OA, равным расстоянию между отме-
ченными точками вставки (рис. 79, а). Архимед проводил радиус OB
полукруга, составляющий с радиусом OA угол, который требовалось
разделить на три равные части, диаметр AC продолжал в сторону
точки C. Линейка с отмеченными точками накладывалась на чертеж
таким образом, что определяемая ей прямая линия проходила бы через
точку B, а отмеченные точки попадали на полуокружность в точке D
и на продолжение диаметра в точке E. Архимед проводил радиус OD.
Если угол CED равен α, то, так как треугольник ODE равнобедренный,
угол EOD также равен α, а внешний угол ODB этого треугольника
равен 2α. Так как треугольник ODB также равнобедренный, то угол
OBD тоже равен 2α. Поэтому в треугольнике OBE угол OEB равен α,
а угол OBE равен 2α. Данный угол AOB—внешний угол треугольни-
ка OBE, поэтому он равен 3α, и угол CED равен его трети.
В <Книге о построении круга, разделенного на семь равных ча-
стей> [4, с. 401—416] Архимед строил правильный семиугольник,
вписанный в круг, с помощью другого вида вставки—прямой линии, способной уравновешивать плоские фигуры, находящиеся по обе сто-
роны от нее, если считать, что веса плоских фигур пропорциональных
их площадям. Архимед рассматривал квадрат ABCD (рис. 79, б).
На этот чертеж он накладывал вставку таким образом, что ее пря-
мая линия проходила бы через вершину B квадрата, пересекала его
диагональ AC в точке Z, его сторону CD в точке G и продолжение сто-
роны AD в точке H так, чтобы треугольник BCZ уравновешивался тре-
угольником DGH. Через точку Z Архимед проводил прямую параллель-
но сторонам AB и CD квадрата, пересекающую сторону AD в точке K.
Архимед доказывал, что если из точки K прямой AH провести
линию KI, равную KA, и линию ID, равную DH, то угол KID будет
равен π/7, и если провести окружность AIH, продолжить линии IK
и ID до точек E и F окружности, то дуга EF будет равна седьмой части
окружности, и семиугольник IAGEFHL (рис. 79, в) будет правильным
семиугольником, вписанным в окружность.
Обе задачи Архимеда равносильны кубическим уравнениям. Зада-
ча о трисекции угла равносильна уравнению
3x=4x3+a. (13.1)
Задача о построении правильного семиугольника равносильна уравнению
x3+x2=2x+1. (13.2)
Уравнение (13.1) является следствием соотношения
sin 3α=3 sin α−4 sin3 α.
Уравнение (13.2) можно получить следующим образом. Представим
вершины правильного семиугольника комплексными числами 1, z, z2,
z3, z4, z5, z6, где z удовлетворяет условию z7=1. Поэтому z удовлетво-
ряет уравнениям
z6+z5+z4+z3+z2+z+1=0
152
и
z3+z2+z+1+1
z
+ 1
z2+ 1
z3 =0.
Полагая в последнем уравнении x=z+1/z, мы получим уравнение (13.2).