<Вставки> Архимеда

Сочинение Аполлония <Вставки> не сохранилось, но, согласно

описанию Паппа, в нем излагалось решение многих геометрических

задач с помощью <вставок>.

Задачи такого типа встречались в сочинениях Архимеда. В <Лем-

мах> [4, с. 395—396] с помощью вставки (neusis) решалась задача

трисекции угла, т. е. деления угла на три равные части. Под встав-

кой здесь имелась в виду линейка с отмеченными на ней двумя

точками. Для решения этой задачи Архимед описывал из центра O

полуокружность ABC радиусом OA, равным расстоянию между отме-

ченными точками вставки (рис. 79, а). Архимед проводил радиус OB

полукруга, составляющий с радиусом OA угол, который требовалось

разделить на три равные части, диаметр AC продолжал в сторону

точки C. Линейка с отмеченными точками накладывалась на чертеж

таким образом, что определяемая ей прямая линия проходила бы через

точку B, а отмеченные точки попадали на полуокружность в точке D

и на продолжение диаметра в точке E. Архимед проводил радиус OD.

Если угол CED равен α, то, так как треугольник ODE равнобедренный,

угол EOD также равен α, а внешний угол ODB этого треугольника

равен 2α. Так как треугольник ODB также равнобедренный, то угол

OBD тоже равен 2α. Поэтому в треугольнике OBE угол OEB равен α,

а угол OBE равен 2α. Данный угол AOB—внешний угол треугольни-

ка OBE, поэтому он равен 3α, и угол CED равен его трети.

В <Книге о построении круга, разделенного на семь равных ча-

стей> [4, с. 401—416] Архимед строил правильный семиугольник,

вписанный в круг, с помощью другого вида вставки—прямой линии, способной уравновешивать плоские фигуры, находящиеся по обе сто-

роны от нее, если считать, что веса плоских фигур пропорциональных

их площадям. Архимед рассматривал квадрат ABCD (рис. 79, б).

На этот чертеж он накладывал вставку таким образом, что ее пря-

мая линия проходила бы через вершину B квадрата, пересекала его

диагональ AC в точке Z, его сторону CD в точке G и продолжение сто-

роны AD в точке H так, чтобы треугольник BCZ уравновешивался тре-

угольником DGH. Через точку Z Архимед проводил прямую параллель-

но сторонам AB и CD квадрата, пересекающую сторону AD в точке K.

Архимед доказывал, что если из точки K прямой AH провести

линию KI, равную KA, и линию ID, равную DH, то угол KID будет

равен π/7, и если провести окружность AIH, продолжить линии IK

и ID до точек E и F окружности, то дуга EF будет равна седьмой части

окружности, и семиугольник IAGEFHL (рис. 79, в) будет правильным

семиугольником, вписанным в окружность.

Обе задачи Архимеда равносильны кубическим уравнениям. Зада-

ча о трисекции угла равносильна уравнению

3x=4x3+a. (13.1)

Задача о построении правильного семиугольника равносильна уравнению

x3+x2=2x+1. (13.2)

Уравнение (13.1) является следствием соотношения

sin 3α=3 sin α−4 sin3 α.

Уравнение (13.2) можно получить следующим образом. Представим

вершины правильного семиугольника комплексными числами 1, z, z2,

z3, z4, z5, z6, где z удовлетворяет условию z7=1. Поэтому z удовлетво-

ряет уравнениям

z6+z5+z4+z3+z2+z+1=0

152

и

z3+z2+z+1+1

z

+ 1

z2+ 1

z3 =0.

Полагая в последнем уравнении x=z+1/z, мы получим уравнение (13.2).