Алгебраические уравнения и алгебраическая геометрия

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Значение термина <алгебраическая геометрия> несколько раз ме-

нялось в ходе истории математики. В XIX в. под алгебраической

геометрией понимали геометрию линий и поверхностей, определяемых

алгебраическими уравнениями третьей степени и выше. Мы будем по-

нимать этот термин более широко—как вопросы геометрии, связанные

с алгебраическими уравнениями степени выше второй.

В главе 5 мы видели, что появление конических сечений было

связано с решением задачи об удвоении куба, равносильной кубиче-

скому уравнению x3=2a3. В связи с решением других задач античные

математики рассматривали различные алгебраические и трансцендент-

ные кривые.

Динострату, брату Менехма, приписывается рассмотрение транс-

цендентной кривой, называемой <квадратрисой>, определяемой урав-

нением

y=x ctg πx

2a

,

с помощью которой он решал задачи квадратуры круга и деления угла

на любое число равных частей.

Архимед в сочинении <О спиралях> изучал трансцендентную кри-

вую—спираль, определяемую в полярных координатах уравнением

ρ=aφ.

Старший современник Аполлония Никомед изучал алгебраическую

кривую четвертого порядка—<конхоиду>, определяемую уравнением

(x2+y2)(y−a)2=k2y2.

Диокл в сочинении <О зажигательных зеркалах> определил алге-

браическую кривую третьего порядка—<циссоиду>

y2= x3

a−x

.

Аполлоний в <Конических сечениях> подошел к вопросам алге-

браической геометрии в III и V книгах. Во введении к I книге он писал, что теоремы III книги позволяют полностью решить задачу

о <геометрических местах к трем и четырем прямым>. Заменяя в опре-

делении этих геометрических мест три и четыре прямые на 2k−1 и 2k

прямых, мы получим алгебраические кривые k-го порядка. В предло-

жениях V51 и V52 Аполлоний определил точки алгебраических кривых

шестого порядка (12.18), (12.19) и (12.20).

В главе 12 мы отмечали доказательство Омара Хайяма, что пере-

сечение равносторонней гиперболы и параболы, ось которой совпадает

с одной из асимптот гиперболы, которое Аполлоний применял в пред-

ложении V51, равносильно решению алгебраического уравнения тре-

тьей степени.

Аналогичным образом Джемшид аль-Каши (ум. 1436) доказал,

что пересечения равносторонней гиперболы с произвольной гипербо-

лой и эллипсом, которые Аполлоний применял в предложении V52,

равносильно решению алгебраического уравнения четвертой степени.

Непосредственно с алгебраической геометрией было связано сочи-

нение Аполлония <Вставки>.