Эволюты конических сечений
Геометрические места центров кривизны плоских кривых в современ-
ной дифференциальной геометрии называются <эволютами> этих кривых.
Определение Аполлонием положений точек P в том случае, когда
из них можно провести единственную нормаль PB к верхней части
сечения, равносильно определению эволют конических сечений.
Эволюты параболы, гиперболы и эллипса можно определить как
огибающие семейств нормалей к этим коническим сечениям, т. е.
как такие линии, которые в каждой своей точке касаются нормали,
проведенной в некоторой точке конического сечения (рис. 77, а—в).
Семейство линий, зависящих от одного параметра t, можно опре-
делить уравнением
F(x, y, t)=0. (12.28)
Огибающую этого семейства можно получить, исключая параметр t
из уравнения (12.28) и из уравнения
F_
t(x, y, t)=0, (12.29)
левая часть которого является частной производной функции F(x, y, t)
по параметру t.
Для определения эволюты параболы (5.4) запишем параметриче-
ское уравнение этой параболы в виде
x=t2/2p, y=t.
Тогда уравнение (12.5) семейства нормалей к этой параболе можно
переписать в виде
F(x, y, t)=t
_
x− t2
2p
_
+p(y−t)=0,
а уравнение (12.29) принимает вид
x−p−3t2
2p
=0.
Исключая t из последних двух уравнений, мы получим уравнение
полукубической параболы (рис. 78, а)
y2/3=2
3
・ x−p
3 √
p
. (12.30)
Для определения эволют эллипса (6.16) и гиперболы (6.18) запи-
шем их параметрические уравнения в виде
x=a cos t, y=b sin t и x=a ch t, y=b sh t.
Тогда уравнения (12.6) и (12.7) семейств нормалей эллипса и гипер-
болы можно переписать в виде
F(x, y, t)=(x−a cos t) sin t
b
−(y−b sin t) cos t
a
и
F(x, y, t)=(x−a ch t) sh t
b
+(y−b sh t) ch t
a
.
Исключая параметры t из этих двух уравнений и из соответственных
уравнений (12.29), мы получим уравнение эволюты эллипса, называе-
мой астроидой (рис. 78, б),
_
xa
a2−b2
_2/3
+
_
yb
a2−b2
_2/3
=1 (12.31)
и уравнение эволюты гиперболы, называемой псевдоастроидой (рис. 78, в),
_
xa
a2+b2
_2/3
−
_
yb
a2+b2
_2/3
=1. (12.32)
Полукубическая парабола является алгебраической кривой тре-
тьего порядка, астроида и псевдоастроида—алгебраические кривые
шестого порядка. Все эти кривые обладают точками возврата. У по-
лукубической параболы одна такая точка, совпадающая с центром
кривизны параболы в ее вершине. У астроиды четыре таких точки,
совпадающие с центрами кривизны эллипса в его вершинах. Псев-
доастроида состоит из двух ветвей, каждая из которых является
геометрическим местом центров кривизны одной из ветвей гиперболы,
у псевдоастроиды две точки возврата—центры кривизны обеих ветвей
гиперболы в их вершинах.
Так как линии K и L, определенные Аполлонием в предложе-
ниях V51 и V52, равны ординатам точек эволют параболы, эллипса
и гиперболы, абсциссы которых равны x0, соотношение (12.12) рав-
носильно уравнению (12.30) полукубической параболы, соотношение
(12.15) равносильно уравнениям (12.31) и (12.32) астроиды и псевдо-
астроиды.
Для доказательства равносильности соотношения (12.12) и урав-
нения (12.30) достаточно заменить в этом уравнении x на x0 и y на K
и возвести обе части этого уравнения в куб.
Для доказательства равносильности соотношения (12.15) и урав-
нений (12.31) и (12.32) следует переписать эти уравнения, соответ-
ственно, в виде
(by)2/3=(a2−b2)2/3−(ax)2/3, (12.33)
(by)2/3=(ax)2/3−(a2+b2)2/3, (12.34)
заменить в уравнениях (12.33) и (12.34) x на x0 и y на L, выра-
зить a2−b2 в случае эллипса и a2+b2 в случае гиперболы через a/h
по формулам (12.18) и (12.19) и возвести обе части каждого из полу-
ченных уравнений в куб.
Равносильность соотношений (12.12), (12.15) и уравнений (12.30),
(12.31) и (12.32) была установлена Т. Л. Хизсом [30, с. 174—178].
Однако, хотя книга [30] вышла в 1896 г., ни в одном издании <Ко-
нических сечений>, опубликованных в XX в., не упоминалось, что
соотношения (12.12) и (12.15) Аполлония равносильны уравнениям
эволют параболы, эллипса и гиперболы.
Несмотря на то, что Аполлонию были известны <симптомы> эво-
лют конических сечений, он не рассматривал строения этих кривых
и, в частности, не писал об их точках возврата. По-видимому, это
объясняется тем, что полукубическую параболу, астроиду и псевдо-
астроиду нельзя построить ни одним способом, которым в древности
получали кривые—с помощью циркуля и линейки, пересечением по-
верхности плоскостью или механическим способом.
Профессор Киевского университета М. Е. Ващенко-Захарченко
дал такую характеристику V книги <Конических сечений> Аполлония.
<Книга V, самая замечательная, показывает исследования Аполлония
во всем их величии; в этой книге впервые появляется вопрос о геоме-
трическом значении наибольших и наименьших величин, т. е. вопрос
о maximum’e и minimum’e. Он исследует отдельные случаи и с необык-
новенным умением, почти совершенно непонятным для нас, из этих
отдельных случаев выводит правила более общие, под которые он под-
водит все исследуемые им вопросы. С удивительным искусством он
решает самые сложные вопросы, и нам невольно приходит на мысль,
что он обладает иными методами исследования, при помощи кото-
рых он находил предложения, а уже впоследствии переделывал их
на общепринятую форму. Известно, что почти два тысячелетия спустя Ньютон многие из своих исследований переделывал и видоизменял,
облекая их в формы и приемы, употребляемые древними греческими
геометрами> [7, с. 103].
Особенно загадочно, каким образом Аполлоний пришел к со-
отношениям (12.12) и (12.15), равносильным уравнениям эволют
конических сечений. По-видимому, Аполлоний действительно владел
некоторыми элементами дифференциального исчисления и пришел
к <симптомам> эволют конических сечений, определяя огибающие се-
мейств нормалей параболы, эллипса и гиперболы.
С мнением Ващенко-Захарченко перекликаются следующие слова
ван дер Вардена: <Аполлоний виртуозно владеет геометрической ал-
геброй, но не менее виртуозно умеет скрывать свой первоначальный
ход мыслей. Из-за этого-то его книгу и трудно понимать; рассуждения
его элегантны и кристально ясны, но что его привело именно к таким
рассуждениям, а не к иным каким-нибудь,—об этом можно лишь до-
гадываться> [6, с. 338—339].
Эти слова ван дер Вардена относятся не только к V книге,
но и ко всем книгам <Конических сечений> Аполлония, в частности,
к предложениям I11—I13, в которых Аполлоний находил <симптомы>
параболы, гиперболы и эллипса, исходя из пропорций (6.2) и (6.5),
определяющих <прямые стороны> этих конических сечений.
Несомненно, что Ж. Л. Лагранж, который сам называл свое
дифференциальное исчисление <алгебраическим> и находился под оче-
видным влиянием Аполлония, не мог не читать латинский перевод
<Конических сечений>, появившийся в 1710 г. Лагранж создал свою
теорию условного экстремума, отправляясь от результатов этой книги.