Эволюты конических сечений

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Геометрические места центров кривизны плоских кривых в современ-

ной дифференциальной геометрии называются <эволютами> этих кривых.

Определение Аполлонием положений точек P в том случае, когда

из них можно провести единственную нормаль PB к верхней части

сечения, равносильно определению эволют конических сечений.

Эволюты параболы, гиперболы и эллипса можно определить как

огибающие семейств нормалей к этим коническим сечениям, т. е.

как такие линии, которые в каждой своей точке касаются нормали,

проведенной в некоторой точке конического сечения (рис. 77, а—в).

Семейство линий, зависящих от одного параметра t, можно опре-

делить уравнением

F(x, y, t)=0. (12.28)

Огибающую этого семейства можно получить, исключая параметр t

из уравнения (12.28) и из уравнения

F_

t(x, y, t)=0, (12.29)

левая часть которого является частной производной функции F(x, y, t)

по параметру t.

Для определения эволюты параболы (5.4) запишем параметриче-

ское уравнение этой параболы в виде

x=t2/2p, y=t.

Тогда уравнение (12.5) семейства нормалей к этой параболе можно

переписать в виде

F(x, y, t)=t

_

x− t2

2p

_

+p(y−t)=0,

а уравнение (12.29) принимает вид

x−p−3t2

2p

=0.

Исключая t из последних двух уравнений, мы получим уравнение

полукубической параболы (рис. 78, а)

y2/3=2

3

x−p

3 √

p

. (12.30)

Для определения эволют эллипса (6.16) и гиперболы (6.18) запи-

шем их параметрические уравнения в виде

x=a cos t, y=b sin t и x=a ch t, y=b sh t.

Тогда уравнения (12.6) и (12.7) семейств нормалей эллипса и гипер-

болы можно переписать в виде

F(x, y, t)=(x−a cos t) sin t

b

−(y−b sin t) cos t

a

и

F(x, y, t)=(x−a ch t) sh t

b

+(y−b sh t) ch t

a

.

Исключая параметры t из этих двух уравнений и из соответственных

уравнений (12.29), мы получим уравнение эволюты эллипса, называе-

мой астроидой (рис. 78, б),

_

xa

a2−b2

_2/3

+

_

yb

a2−b2

_2/3

=1 (12.31)

и уравнение эволюты гиперболы, называемой псевдоастроидой (рис. 78, в),

_

xa

a2+b2

_2/3

_

yb

a2+b2

_2/3

=1. (12.32)

Полукубическая парабола является алгебраической кривой тре-

тьего порядка, астроида и псевдоастроида—алгебраические кривые

шестого порядка. Все эти кривые обладают точками возврата. У по-

лукубической параболы одна такая точка, совпадающая с центром

кривизны параболы в ее вершине. У астроиды четыре таких точки,

совпадающие с центрами кривизны эллипса в его вершинах. Псев-

доастроида состоит из двух ветвей, каждая из которых является

геометрическим местом центров кривизны одной из ветвей гиперболы,

у псевдоастроиды две точки возврата—центры кривизны обеих ветвей

гиперболы в их вершинах.

Так как линии K и L, определенные Аполлонием в предложе-

ниях V51 и V52, равны ординатам точек эволют параболы, эллипса

и гиперболы, абсциссы которых равны x0, соотношение (12.12) рав-

носильно уравнению (12.30) полукубической параболы, соотношение

(12.15) равносильно уравнениям (12.31) и (12.32) астроиды и псевдо-

астроиды.

Для доказательства равносильности соотношения (12.12) и урав-

нения (12.30) достаточно заменить в этом уравнении x на x0 и y на K

и возвести обе части этого уравнения в куб.

Для доказательства равносильности соотношения (12.15) и урав-

нений (12.31) и (12.32) следует переписать эти уравнения, соответ-

ственно, в виде

(by)2/3=(a2−b2)2/3−(ax)2/3, (12.33)

(by)2/3=(ax)2/3−(a2+b2)2/3, (12.34)

заменить в уравнениях (12.33) и (12.34) x на x0 и y на L, выра-

зить a2−b2 в случае эллипса и a2+b2 в случае гиперболы через a/h

по формулам (12.18) и (12.19) и возвести обе части каждого из полу-

ченных уравнений в куб.

Равносильность соотношений (12.12), (12.15) и уравнений (12.30),

(12.31) и (12.32) была установлена Т. Л. Хизсом [30, с. 174—178].

Однако, хотя книга [30] вышла в 1896 г., ни в одном издании <Ко-

нических сечений>, опубликованных в XX в., не упоминалось, что

соотношения (12.12) и (12.15) Аполлония равносильны уравнениям

эволют параболы, эллипса и гиперболы.

Несмотря на то, что Аполлонию были известны <симптомы> эво-

лют конических сечений, он не рассматривал строения этих кривых

и, в частности, не писал об их точках возврата. По-видимому, это

объясняется тем, что полукубическую параболу, астроиду и псевдо-

астроиду нельзя построить ни одним способом, которым в древности

получали кривые—с помощью циркуля и линейки, пересечением по-

верхности плоскостью или механическим способом.

Профессор Киевского университета М. Е. Ващенко-Захарченко

дал такую характеристику V книги <Конических сечений> Аполлония.

<Книга V, самая замечательная, показывает исследования Аполлония

во всем их величии; в этой книге впервые появляется вопрос о геоме-

трическом значении наибольших и наименьших величин, т. е. вопрос

о maximum’e и minimum’e. Он исследует отдельные случаи и с необык-

новенным умением, почти совершенно непонятным для нас, из этих

отдельных случаев выводит правила более общие, под которые он под-

водит все исследуемые им вопросы. С удивительным искусством он

решает самые сложные вопросы, и нам невольно приходит на мысль,

что он обладает иными методами исследования, при помощи кото-

рых он находил предложения, а уже впоследствии переделывал их

на общепринятую форму. Известно, что почти два тысячелетия спустя Ньютон многие из своих исследований переделывал и видоизменял,

облекая их в формы и приемы, употребляемые древними греческими

геометрами> [7, с. 103].

Особенно загадочно, каким образом Аполлоний пришел к со-

отношениям (12.12) и (12.15), равносильным уравнениям эволют

конических сечений. По-видимому, Аполлоний действительно владел

некоторыми элементами дифференциального исчисления и пришел

к <симптомам> эволют конических сечений, определяя огибающие се-

мейств нормалей параболы, эллипса и гиперболы.

С мнением Ващенко-Захарченко перекликаются следующие слова

ван дер Вардена: <Аполлоний виртуозно владеет геометрической ал-

геброй, но не менее виртуозно умеет скрывать свой первоначальный

ход мыслей. Из-за этого-то его книгу и трудно понимать; рассуждения

его элегантны и кристально ясны, но что его привело именно к таким

рассуждениям, а не к иным каким-нибудь,—об этом можно лишь до-

гадываться> [6, с. 338—339].

Эти слова ван дер Вардена относятся не только к V книге,

но и ко всем книгам <Конических сечений> Аполлония, в частности,

к предложениям I11—I13, в которых Аполлоний находил <симптомы>

параболы, гиперболы и эллипса, исходя из пропорций (6.2) и (6.5),

определяющих <прямые стороны> этих конических сечений.

Несомненно, что Ж. Л. Лагранж, который сам называл свое

дифференциальное исчисление <алгебраическим> и находился под оче-

видным влиянием Аполлония, не мог не читать латинский перевод

<Конических сечений>, появившийся в 1710 г. Лагранж создал свою

теорию условного экстремума, отправляясь от результатов этой книги.