Нормали к коническим сечениям как минимумы и максимумы

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Во многих предложениях V книги Аполлоний находит нормали

к коническим сечениям, проведенные из различных точек плоско-

сти. Аполлоний определяет прямолинейные отрезки минимальной или

максимальной длины, соединяющие данную точку плоскости с ко-

ническим сечением, и доказывает, что эти отрезки перпендикулярны

касательным к коническому сечению в точках их встречи с сечением,

т. е. эти отрезки направлены по нормалям к коническому сечению.

Необходимым условием того, что функция f(x) обладает в точке

x=x0 экстремумом, т. е. максимумом или минимумом, является то, что

в этой точке производная f _ (x) равна 0. Необходимым условием того,

что функция F(x, y) обладает экстремумом в точке с координатами

x=x0, y=y0, состоит в том, что в этой точке равны нулю частные

производные F_

x и F_

y.

Задачи V книги <Конических сечений> сводятся к проблеме услов-

ного экстремума, т. е. экстремума функции f(x, y) при условии, что

x и y связаны равенством F(x, y)=0. В случае задач Аполлония

функция f(x, y) является квадратом расстояния от точки M плоско-

сти до точки P конического сечения, а равенство F(x, y)=0 является

уравнением конического сечения. Если координаты точки P равны

x, y, а координаты точки M равны x0, y0, функция f(x, y) имеет вид

f(x, y)=(x−x0)2+(y−y0)2. (12.9)

Как показал Жозеф Луи Лагранж (1736—1813), необходимым

условием экстремума функции f(x, y), аргументы которой x, y связаны

соотношением F(x, y)=0, является равенство нулю частных производ-

ных U_

x и U_

y функции

U(x, y)=f(x, y)+λF(x, y), (12.10)

где λ—множитель Лагранжа.

134

Подставляя в выражение (12.10) значение (12.9) функции f(x, y),

мы найдем, что необходимыми условиями экстремума расстояния

от точки M до точки P конического сечения являются равенства

U_

x=2(x−x0)+λF_

x=0, U_

y=2(y−y0)+λF_

y=0. (12.11)

Формулы (12.11) показывают, что вектор

−−→

MP в случае, когда он име-

ет экстремальную длину, направлен по нормали к коническому сечению.

Доказательства Аполлония того, что нормали имеют экстремаль-

ную длину, по существу равносильны доказательствам того, что част-

ные производные многочлена второй степени с переменными x и y

равны нулю.

Проведение нормалей к коническим сечениям

из точек их осей

В предложении V4 рассматривается парабола (5.4) и доказыва-

Рис. 74

ется следующее: <Если на оси параболы отмечена точка, расстояние

от которой до вершины сечения равно половине прямой

стороны, и из этой точки проведены линии к сечению,

то минимальная из них—линия, проведенная к вершине

сечения, и те из них, которые ближе к ней, меньше тех,

которые дальше от нее. Квадраты этих линий превыша-

ют квадрат линии, проведенной к вершине, на квадрат

того, что отсечено на оси от вершины перпендикуляра-

ми, опущенными на ось из точек параболы, являющихся

концами этих линий.

Пусть CE—ось параболы, а CG—половина прямой

стороны, и пусть из точки G проведены к параболе ABC

линии GH, GF, GB и GA (рис. 74, а). Я утверждаю, что

наименьшая из линий, проведенных из точки G к сече-

нию ABC,—линия CG, и те линии, которые ближе к ней,

меньше тех, которые дальше от нее, и что квадрат ка-

ждой из них равен сумме [квадрата] ,,над CG“ и квадрата

линии между точкой C и основанием перпендикуляра,

опущенного [на ось] из конца этой линии> [26, с. 8—9].

Последнее утверждение теоремы является следствием

уравнения (5.4) параболы.

В предложениях V5 и V6 доказываются аналогич-

ные утверждения для гиперболы (5.6) и эллипса (5.5)

(рис. 74, б, в) [26, с. 10—13, 18—19]. В этих предложе-

ниях избытки квадратов линий, проведенных из точки G

к точкам гиперболы или эллипса, над квадратом линии,

соединяющей точку G с вершиной сечения, выражаются

с помощью соотношений, равносильных уравнениям ги-

перболы (5.6) и эллипса (5.5).

В предложениях V4, V5 и V6 разность квадрата отрезка, соединяющего точку G

с точкой конического сечения, имеющей

абсциссу x0, и квадрата отрезка CG рав-

на x20

e2, где e—эксцентриситет конического

сечения.

В предложении V7 рассматривается ко-

ническое сечение ABCD с осью DH. На оси

находятся такая точка E, что DE=p и точ-

ка G между точками D и E. Аполлоний

доказывает, что DG—минимальная линия,

проведенная из точки G к коническому се-

чению.

Предложение является следствием

предложений V4, V5 и V6.

В предложении V8 доказывается: <Ес-

ли на оси параболы отмечена точка, рас-

стояние от которой до вершины сечения

больше половины прямой стороны, и если

на оси от отмеченной точки по направлению

к вершине отложена линия равная полови-

не прямой стороны, и в [другом] конце от-

ложенной линии восставлен перпендикуляр

к оси, продолженный до сечения, и из точ-

ки, где он встречается с сечением, проведена

линия к отмеченной точке, то эта линия—

кратчайшая из линий, проведенных из точ-

ки, отмеченной на оси, к сечению, и из всех

других линий по обе стороны [от нее] те,

которые ближе к ней, короче тех, которые

дальше [от нее]. Квадрат каждой из них

превышает квадрат над кратчайшей линией на величину, равную

квадрату линии между основанием перпендикуляра [к оси] и [отме-

ченной] точкой.

Пусть парабола—ABC, ее ось—CD. Пусть линия CE длиннее

половины прямой стороны, а половина прямой стороны—GE. Восста-

вим перпендикуляр GH к CE и соединим точки E и H (рис. 75, а).

Я утверждаю, что линия EH —кратчайшая из линий, проведенных

из точки E к сечению, а из других линий, проведенных от [сечения]

ABC [к точке E], те, которые ближе к линии EH, короче тех, которые

дальше [от нее] по обе стороны [от EH]. Если мы проведем от точки E

к сечению линии EK, EL, EF, EA, я утверждаю также, что квадрат

над каждой из них превышает квадрат над EH на величину равную

квадрату над линией между основанием перпендикуляра, [опущенно-

го на ось] из этой точки [K, L, F, A], и точкой G> [26, с. 26—27].

Отрезок оси параболы между точкой, из которой проведена нор-

маль, и основанием перпендикуляра, опущенного на ось из другого

конца нормали, называется <поднормалью> точки параболы. Послед-

нее утверждение предложения V8 состоит в том, что поднормали всех

точек параболы равны p.

В предложениях V9 и V10 доказываются аналогичные утверждения

для гиперболы и эллипса (рис. 75, б, в) [26, с. 30—34, 38—39].

Для точек гиперболы и эллипса, так же как для точек параболы,

определяются поднормали. Эти поднормали для точек гиперболы (6.18)

и эллипса (6.16) с абсциссами x0 равны b2x0/a2.

В предложениях V8, V9 и V10 разность квадрата отрезка, соединя-

ющего точку E с точкой конического сечения, имеющей абсциссу x0,

и квадрата минимального отрезка, соединяющего точку E с точкой ко-

нического сечения, имеющей абсциссу x1, равна (x1

−x0)2e2, где e—

эксцентриситет конического сечения.

Предложение V11 является частным случаем предложения V10,

когда отмеченная точка оси—центр эллипса. В этом случае нормаля-

ми являются обе оси эллипса, поднормаль равна нулю, минимальное

расстояние от центра до эллипса равно его малой полуоси b, макси-

мальное расстояние равно его большой полуоси a.

В предложении V12 рассматривается коническое сечение AB

с осью BC, причем CA—минимальная из линий, проведенная из точ-

ки C к коническому сечению, и доказывается, что если D—точка

отрезка CA, то DA—минимальная из линий, проведенных из D к ко-

ническому сечению.

В предложениях V13 и V14 доказываются теоремы об углах, образу-

емых минимальными линиями, проведенными к коническим сечениям

из точек их осей, с этими осями.

В предложениях V15—V23 доказываются теоремы о максималь-

ных линиях, проведенных к эллипсу из различных точек его малой

оси или ее продолжений. В частности, в предложении V20 дока-

зывается, что если отмеченная точка находится между центром эл-

липса и той точкой малой оси или ее продолжения, расстояние

от которой до одного из концов малой оси равно половине прямой

стороны, соответствующей малой оси, то из этой точки можно про-

вести к эллипсу три нормали: одну—направленную по малой оси

и две—по обе стороны от нее, а если отмеченная точка находит-

ся по другую сторону от указанной точки, чем центр, то из нее,

как и из самой, указанной точки, можно провести к эллипсу только

одну нормаль, направленную по малой оси. Указанная точка явля-

ется центром кривизны одной из вершин эллипса. В случае, когда

из отмеченной точки можно провести три нормали, те, которые не не-

правлены по малой оси, являются максимальными линиями, а третья

нормаль—минимальная линия, проведенная к дуге между конца-

ми первых двух нормалей. В случае, когда из отмеченной точки можно провести только одну нормаль, она является максимальной

линией, проведенной к противоположной стороне эллипса. Если ор-

дината отмеченной точки y0, то поднормаль, являющаяся отрезком

между этой точкой и основанием перпендикуляра, опущенного на ма-

лую ось из конца нормали, проведенной из отмеченной точки, равна

a2y0/b2.

В предложениях V24—V26 доказывается, что к данной точке ко-

нического сечения можно провести только одну минимальную линию

из точек оси этого сечения.

В предложениях V27—V29 доказывается, что минимальные линии,

проведенные к коническому сечению из точек плоскости, перпендику-

лярны касательным. По аналогии с поднормалями конических сечений

можно определить <подкасательные>—отрезки оси конического сече-

ния между точками ее пересечения с касательными и основаниями

перпендикуляров, опущенных из точек касания на ось. В предложе-

нии V27 Аполлоний доказывает это утверждение для параболы (5.4).

В этом случае в силу предложения V8 поднормаль любой точки

равна p, а в силу предложения I33 подкасательная точки с коорди-

натами x0, y0 равна 2x0. Поэтому произведение этих отрезков 2px0

в силу уравнения (5.4) равно квадрату y20

ординаты точки касания,

откуда следует, что отрезок оси параболы, состоящий из подкаса-

тельной и поднормали, является диаметром окружности, проходящей

через точку касания, и угол между касательной и минимальной ли-

нией вписан в окружность и опирается на ее диаметр, т. е. является

прямым углом.

В предложении V28 Аполлоний доказывает аналогичное утверж-

дение для эллипса (6.16) и гиперболы (6.18). В этом случае

в силу предложений V9 и V10 поднормаль точки с координата-

ми x0, y0 равна b2|x0

|/a2, а в силу предложения I37 подкасательная

той же точки эллипса или гиперболы равна |a2/x0

−x0

|=|a2−x20

|/|x0

|.

Поэтому произведение этих отрезков b2|a2−x20

|/a2 в силу уравнений

(6.16) и (6.18) равно квадрату y20

ординаты точки касания, отку-

да следует, что отрезок оси сечения, состоящий из подкасательной

и поднормали, является диаметром окружности, проходящей через

точку касания, и угол между касательной и минимальной лини-

ей вписан в окружность и опирается на ее диаметр, т. е. является

прямым углом.

В предложении V29 дается другое доказательство тех же утвержде-

ний, общее для всех трех конических сечений.

Предложение V30 является аналогом предложения V28 для макси-

мальных линий, проведенных в эллипсе.

В предложениях V31—V34 доказываются обратные теоремы для

предложений V27—V30.

В предложениях V35—V48 доказываются _____теоремы о пересечении

нормалей к коническим сечениям.

Проведение нормалей к коническим сечениям

из любой точки плоскости

В предложениях V49 и V50 доказывается, что если восставить к оси

параболы (5.4) и гиперболы (6.18) или к большой оси эллипса (6.16)

перпендикуляр, расстояние от которого до вершины сечения меньше

или равно половине прямой стороны, то ни из какой точки этого

перпендикуляра нельзя провести к противоположной стороне сечения

такую прямую, отрезок которой между осью и сечением является

минимальной линией, т. е. ни из какой точки этого перпендикуляра

нельзя провести нормаль к противоположной стороне сечения.

В предложениях V51 и V52 решается задача проведения нормалей

к параболе (5.4), эллипсу (6.16) и гиперболе (6.18) из любой точки

плоскости.

Утверждения предложений V51 и V52 формулируются следующим

образом.

<Если перпендикуляр, упомянутый [в предыдущих предложени-

ях], отсекает на оси сечения [от его вершины] отрезок, больший

половины прямой стороны, то я утверждаю, что можно найти такую

линию, что если она меньше перпендикуляра, опущенного на ось, то

из его конца нельзя провести к сечению прямую, отрезок которой,

отсекаемый [осью], является минимальной линией, но минимальная

линия, выходящая из конца всякой линии, проведенной из конца пер-

пендикуляра к сечению, отсекает на оси от вершины сечения отрезок,

больший отрезка, отсекаемого самой линией;

если перпендикуляр равен найденной линии, то из его конца

можно провести только одну такую линию, отрезок которой, отсека-

емый [осью], является минимальной линией, и минимальные линии,

выходящие из концов других линий, проведенных из конца перпен-

дикуляра, отсекают на оси от вершины сечения отрезки, большие

отрезков, отсекаемых самими этими линиями;

если перпендикуляр меньше найденной линии, то из его конца

можно провести только две такие линии, отрезки которых, отсе-

каемые [осью], являются минимальными линиями, и минимальные

линии, выходящие из концов других линий, проведенных из конца

перпендикуляра между двумя перпендикулярными линиями, отсекают

на оси от вершины сечения отрезки, меньшие отрезков, отсекае-

мых самими этими линиями, а минимальные прямые, выходящие

из концов других линий, проведенных из конца перпендикуляра

не между двумя минимальными линиями, отсекают на оси от вер-

шины сечения отрезки, большие отрезков, отсекаемых самими этими

линиями.

Однако в случае эллипса для выполнения наших утверждений

требуется, чтобы ось, на которую опущен перпендикуляр, была боль-

шой осью [эллипса]> [26, с. 144—147].

В предложении V51 рассматривается проведение нормалей к пара-

боле, в предложении V52 —к гиперболе и эллипсу. В случае параболы

линию, с которой сравниваются перпендикуляры, опущенные на ось,

Аполлоний называет <линией K>, в случае гиперболы и эллипса он

называет эту линию <линией L>.

Во всех трех случаях Аполлоний рассматривает коническое сече-

ние AB с осью AG, из точки P с координатами x0, y0, расположенной

ниже оси, опускает перпендикуляр PG на ось, причем AG>p, опреде-

ляет линии K и L, соответствующие точке P, и доказывает, что

в случае, когда y0 больше K или L, из точки P нельзя провести

ни одной нормали к верхней части сечения;

в случае, когда ордината y0 равна K или L, из точки P можно

провести только одну нормаль к верхней части сечения;

в случае, когда y0 меньше K или L, из точки P можно провести

только две нормали к верхней части сечения.

В случае параболы (5.4) (рис. 76, а) Аполлоний определяет ли-

нию K следующим образом. На оси параболы между точками A и G

Аполлоний находит такую точку H, для которой HG=p, а на отрез-

ке AH находит такую точку F, что FH=2AF. В точке F Аполлоний

восставляет перпендикуляр FB, встречающий сечение в точке B. Ли-

ния K определяется пропорцией

K

BF

=FH

HG

. (12.12)

В случае эллипса (6.16) (рис. 76, в) и гиперболы (6.18) (рис. 76, б)

Аполлоний определяет линию L следующим образом. Если центром

сечения является точка D, то на оси сечения между точками A и G

Аполлоний находит такую точку H, для которой

DH

HG

=a

p

=a2

b2 . (12.13)

На оси сечения между точками A и H Аполлоний находит такие

точки K и F, для которых выполняются равенства

DA

DK

=DK

DF

=DF

DH

. (12.14)

Равенства (12.14) являются частным случаем равенств (2.2), и две

средние пропорциональные линии DK и DF между данными линия-

ми DA и DH можно найти, как и решение задачи об удвоении куба,

с помощью пересечения двух парабол.

В точке K Аполлоний восставляет перпендикуляр к AB, встречаю-

щий сечение в точке B. Линия L определяется составным отношением

L

KB

=DG

GH

HK

DK

. (12.15)

140

Формулы (12.12) и (12.15) выражают алгебраические соотноше-

ния между линиями K и L и абсциссой x0 точки P.

Аполлоний не указывает, каким путем он пришел к этим пропорциям.

Соотношения (12.12) и (12.15) можно выразить в явном виде сле-

дующим образом. В случае параболы (5.4) AG=x0, HG=p, AH=x0

−p,

AF=1

3

(x0

−p), FH=2

3

(x0

−p), FB2=4

3

p(x0

−p). Поэтому пропорция

(12.12) равносильна соотношению

K2= 8

27

(x0

−p)3

p

(12.16)

В случае эллипса (6.16) и гиперболы (6.18) линия DA равна

половине a поперечного диаметра, и если мы обозначим линию DH

буквой h, то из равенств (12.14) следует, что DK/a=3

h/a и

DK=a3

h/a. (12.17)

Формулу (12.13) в случае эллипса можно переписать в виде

h

h−x0

=a2

b2 , откуда следует, что

h=

a2x0

a2−b2 . (12.18)

Формулу (12.13) в случае гиперболы можно переписать в виде

h

x0

−h

=a2

b2 , откуда следует, что

h=

a2x0

a2+b2 . (12.19)

Из формулы (12.17) в случае эллипса (6.16) следует, что

BK2=b2

a2 (a2−DK2)=b2

_

1−

_h

a

_2/3_

. (12.20)

Из формулы (12.17) в случае гиперболы (6.18) следует, что

BK2=b2

a2 (DK2−a2)=b2

__h

a

_2/3−1

_

. (12.21)

Поэтому соотношение (12.15) для эллипса равносильно соот-

ношению

L2=b2

_

1−

_h

a

_2/3_ a4x20

b4h2

_

h

a

3

s

h

a

−1

_2

или

(bL)2=(ax0)2

_

1−

_h

a

_2/3_ __a

h

_1/3−a

h

_2

=(ax0)2

_

1−

_h

a

_2/3_

×

×

__a

h

_2/3−2

_a

h

_4/3

+

_a

h

_2_

=(ax0)2

__a

h

_2−3

_a

h

_4/3

+3

_a

h

_2/3−1

_

,

т. е.

(bL)2=(ax0)2

__a

h

_2/3−1

_3

. (12.22)

Аналогично доказывается, что соотношение (12.15) для гиперболы

равносильно соотношению

(bL)2=(ax0)2

_

1−

_a

h

_2/3_3

. (12.23)

Вспомогательные гиперболы

Для определения точек Q и R параболы (5.4), эллипса (6.16)

и гиперболы (6.18) (рис. 76, а—в), являющихся концами норма-

лей, проведенных из точки P, Аполлоний определяет вспомогательные

равносторонние гиперболы, пересекающие эти конические сечения

в точках Q и R.

В случае параболы (5.4) асимптотами этой гиперболы является ось

параболы и перпендикулярная ей прямая, пересекающая ось в точке H

с абсциссой x−p.

В случае эллипса (6.16) и гиперболы (6.18) асимптотами вспомо-

гательных гипербол являются прямые, параллельные оси гиперболы

и большой оси эллипса, пересекающие прямую PG в точке N, удовле-

творяющей условию

PN/NG=a/p=a2/b2, (12.24)

и прямая, перпендикулярная оси, пересекающая ее в точке H, удовле-

творяющей условию (12.13).

Асимптота вспомогательной гиперболы для эллипса (6.16), па-

раллельная его большой оси, расположена выше этой оси, асимптота

вспомогательной оси гиперболы для гиперболы (6.18), параллельная

ее оси, расположена ниже этой оси.

Другая ветвь вспомогательной гиперболы проходит через точку P.

Хотя Аполлоний определяет вспомогательную гиперболу только

в тех случаях, когда она пересекается с рассматриваемым коническим

сечением в двух точках, вспомогательную гиперболу можно определить

и в тех случаях, когда она касается этого сечения или не имеет с ним

общих точек.

В том случае, когда вспомогательная гипербола и сечение каса-

ются в точке B, прямая PB—единственная нормаль к верхней части

сечения, проведенная из точки P. Так как касание вспомогательной ги-

перболы с сечением может быть получено предельным переходом из их

пересечения в двух точках при стремлении точек Q и R к точке B,

нормаль PB можно получить предельным переходом из бесконечно

близких к ней нормалей, проведенных из точки P. Поэтому отрезок PB

является радиусом кривизны сечения в точке B, а точка P—центр

кривизны сечения в точке B.

В том случае, когда вспомогательная гипербола и сечение не имеют

общих точек, из точки P нельзя провести нормали к верхней части сечения.

Вспомогательная гипербола, с помощью которой Аполлоний про-

водил нормали к параболе из точки P с координатами x0, y0, опреде-

ляется уравнением

(x−x0)y+p(y−y0)=0. (12.25)

Координаты x0, y0 точки P удовлетворяют этому уравнению. Так

как асимптота y=0 гиперболы (12.25) совпадает с осью параболы,

эта гипербола проходит через бесконечно удаленную точку параболы,

которую, как точку пересечения всех диаметров параболы, можно

рассматривать как центр параболы.

Это уравнение можно вывести из равенств (12.11) следующим

образом. Здесь F(x, y)=y2−2px. Поэтому

U_

x=2(x−x0)−2λp, U_

y=2(y−y0)+2λy.

Из второго равенства находим λ=−(y0

−y)/y. Подставляя это значение λ в первое равенство, получаем уравнение (12.25).

Папп в предложении IV30 <Математического собрания> реко-

мендовал дать другое доказательство предложения V51 <Конических

сечений> Аполлония, в котором вспомогательная гипербола (12.25)

была заменена окружностью круга, так как окружность—плоское

геометрическое место, а гипербола—более сложное телесное геометри-

ческое место. Эта задача была решена Христианом Гюйгенсом (1629—

1695). Текст Гюйгенса и его английский перевод были опубликованы

Тумером [26, с. 659—661].

Омар Хайям (1048—1131) в своем алгебраическом трактате дока-

зал, что пересечения окружности кругов, парабол с горизонтальными

или вертикальными осями и равносторонних гипербол с горизонталь-

ными и вертикальными осями или асимптотами могут быть применены

для решения кубических уравнений.

Таким образом, пересечение параболы с равносторонней гипербо-

лой у Аполлония и пересечение параболы с окружностью у Гюйгенса

определяют решения кубических уравнений.

Вспомогательные гиперболы, с помощью которых Аполлоний про-

водил нормали к эллипсу и гиперболе из точки P с координатами

x0, y0, определяются в случае эллипса (6.16) уравнением

xy− xy0b2

a2+b2

− yx0a2

a2+b2 =0, (12.26)

а в случае гиперболы (6.18) уравнением

xy− xy0b2

a2−b2+

yx0a2

a2−b2 =0. (12.27)

Координаты x0, y0 точки P удовлетворяют обоим уравнениям

(12.26) и (12.27). Так как в обоих этих уравнениях отсутствуют сво-

бодные члены, гипербола (12.26) проходит через центр эллипса (6.16),

а гипербола (12.27) проходит через центр гиперболы (6.18).

Уравнения (12.26) и (12.27) можно вывести из равенств (12.11),

если принять для эллипса F(x, y)=x2

a2+y2

b2

−1, для гиперболы F(x, y)=

=x2

a2

−y2

b2

−1. Поэтому в случае эллипса

U_

x=2(x−x0)+2λx

a2, U_

y=2(y−y0)+2λy

b2 ,

а в случае гиперболы

U_

x=2(x−x0)+2λx

a2, U_

y=2(y−y0)−2λy

b2 .

Исключая из этих пар уравнений λ, мы получаем в первом случае

уравнение (2.26), а во втором случае—уравнение (2.27).

В силу симметрии параболы, эллипса и гиперболы относительно

их осей проведение нормалей к нижней части этих сечений из точки P,

расположенной выше оси, аналогично проведению нормалей в пред-

ложениях V51 и V52.

Проведение нормалей к коническим сечениям из точек, находя-

щихся на их осях, производится с помощью пар перпендикулярных

прямых, которые можно рассматривать как вырожденные случаи вспо-

могательных гипербол. Одной из этих прямых является сама ось

сечения, а другой—прямая, соединяющая концы нормалей, располо-

женных симметрично относительно оси.

В случае проведения нормали из центра кривизны сечения в его

вершине второй из двух перпендикулярных прямых является каса-

тельная в этой вершине.

В предложении V60 Аполлоний рассматривает проведение нормали

к гиперболе из точки ее мнимой оси с помощью двух перпендикуляр-

ных прямых, одной из которых является мнимая ось гиперболы. Эту

пару прямых также можно рассматривать как вырожденный случай

вспомогательной гиперболы.

В том случае, когда из данной точки проведены к коническому

сечению две нормали, и из этой точки нельзя провести к сечению

ни одной нормали между проведенными, то из отрезков этих нормалей

между их общей точкой и сечением один является минимальной,

а другой—максимальной линией.

В предложении V72 Аполлоний доказывает, что если из данной

точки, находящейся ниже оси параболы или гиперболы, можно про-

вести к верхней части сечения две нормали, то отрезок той из этих

нормалей между их общей точкой и сечением, который ближе к верши-

не сечения, является максимальной линией, а отрезок другой нормали

является минимальной линией.

В предложении V74 Аполлоний доказывает, что если из данной

точки, находящейся ниже большой оси эллипса, но не на его малой

оси, можно провести к верхней части эллипса две нормали, то отрезок

той из этих нормалей между их общей точкой и сечением, который

пересекается с малой осью, является максимальной линией, а отрезок

другой нормали является минимальной линией.