Нормали к параболе
В главе 9 мы видели, что для предложений III45 и III48 имеются аналоги, относящиеся
к параболе. Имеется такой аналог и для предложения III47. Этот аналог состоит в следующем.
Если в вершине A параболы проведена касательная AC, а в ее произвольной точке E—
касательная CE, ось параболы—AB, параллельно оси проведена прямая CF и из фокуса G—
прямая GK, параллельная касательной CE, и если прямые GK и CF пересекаются в точке J,
то прямая JE является нормалью к параболе.
В самом деле, касательная к параболе (5.4) является прямой (8.20). Поэтому координаты
точки C равны x=0, y=px0/y0. Уравнение прямой CF имеет вид y=px0/y0. Координаты фокуса G равны x=p/2, y=0.
Если мы запишем уравнение прямой GK в виде y=kx+h, то ее угловой коэффициент k равен угловому коэффициенту касательной CE,
т. е. k=p/y0. Поэтому свободный член h равен −p2/2y0. Ордината y
точки J пересечения прямых CF и GK равна px0/y0, а абсцисса x этой
точки определяется соотношением
px0
y0
=px
y0
− p2
2y0
.
Это соотношение равносильно равенству x0=x−p/2. Поэтому аб-
сцисса x точки J равна x0+p/2. Координаты вектора
−→
EJ равны
x−x0=p
2
, y−y0=
px0
y0
−y0=
px0
−y20
y0
=
y20
2y0
=−y0
2
.
Поэтому угловой коэффициент прямой EJ равен
−y0
2
: p
2
=
−y0
p
. Так
как этот угловой коэффициент совпадает с угловым коэффициентом
прямой (12.5), прямая EJ является нормалью к параболе (5.4).
Соприкасающиеся окружности
В V книге <Конических сечений> и в последующих книгах Апол-
лоний рассматривает конические сечения только в прямоугольных
координатах, осями абсцисс которых являются оси этих сечений.
По-видимому, эти книги были написаны как продолжение четы-
рех книг <Начал конических сечений> Евклида, а позже Аполлоний
заменил в I—IV книгах прямой круговой конус наклонным, а прямо-
угольные координаты—косоугольными.
Во многих предложениях V книги важную роль играют отрезки p,
равные половине прямой стороны конического сечения. Эти отрезки
тесно связаны с понятием соприкасающейся окружности к кониче-
скому сечению, т. е. предельного положения окружности, проходящей
через три близкие точки конического сечения, при стремлении второй
и третьей из этих точек к первой. Соприкасающуюся окружность назы-
вают также <кругом кривизны> конического сечения, а центр и радиус
этой окружности называют <центром кривизны> и <радиусом кривиз-
ны> конического сечения в данной его точке.
Величина, обратная радиусу кривизны, называется <кривизной
конического сечения> в данной точке. В современной дифференциаль-
ной геометрии кривизна кривой в данной ее точке определяется как
предел отношения угла между касательными в этой точке и в точке,
близкой к ней, к длине дуги кривой между этими точками при стрем-
лении второй точки к первой.
Радиус кривизны конического сечения (5.12) в его вершине O,
являющейся началом системы прямоугольных координат, равен пара-
метру p этого конического сечения. В самом деле, рассмотрим близкие
к вершине O точки M и N конического сечения с абсциссой h
(рис. 73, а). Тогда, если радиус окружности MON равен rh,
r2h
=(rh
−h)2+y2=r2h
−2rhh+h2+2ph+(e2−1)h2,
rh=p+e2h
2
.
При стремлении точек M и N к O, т. е. при стремлении h к нулю, мы
получим в пределе r=lim
h→0
rh=p.
На рис. 73, б—г изображены круги кривизны параболы, гиперболы
и эллипса в их вершинах. Заметим, что центр кривизны конического
сечения в его вершине расположен на оси сечения по ту же сторону,
что и фокус, ближайший к этой вершине. В случае эллипса из форму-
лы (5.10) следует, что радиус кривизны эллипса в его вершине равен
p=a(1−e2), где e—эксцентриситет эллипса. В предложении III45 до-
казано, что расстояние f от вершины эллипса до ближайшего к ней фокуса равно f=a(1−e). Поэтому величины p и f связаны соотно-
шением
f= p
e+1
. (12.8)
В случае гиперболы из формулы (5.11) следует, что радиус кривиз-
ны гиперболы в ее вершине равен p=a(e2−1), где e—эксцентриситет
гиперболы. В предложении III45 доказано, что расстояние f от верши-
ны гиперболы до ближайшего к ней фокуса равно f=a(e−1). Поэтому
в случае гиперболы величины p и f связаны _____тем же соотношением (12.8).
Соотношение (12.8) имеет место также в случае окружности, фо-
кусы которой совпадают с ее центром и для которой e=0 и f=p,
и в случае параболы, для которой e=1 и f=p/2.