Нормали к параболе

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

В главе 9 мы видели, что для предложений III45 и III48 имеются аналоги, относящиеся

к параболе. Имеется такой аналог и для предложения III47. Этот аналог состоит в следующем.

Если в вершине A параболы проведена касательная AC, а в ее произвольной точке E—

касательная CE, ось параболы—AB, параллельно оси проведена прямая CF и из фокуса G—

прямая GK, параллельная касательной CE, и если прямые GK и CF пересекаются в точке J,

то прямая JE является нормалью к параболе.

В самом деле, касательная к параболе (5.4) является прямой (8.20). Поэтому координаты

точки C равны x=0, y=px0/y0. Уравнение прямой CF имеет вид y=px0/y0. Координаты фокуса G равны x=p/2, y=0.

Если мы запишем уравнение прямой GK в виде y=kx+h, то ее угловой коэффициент k равен угловому коэффициенту касательной CE,

т. е. k=p/y0. Поэтому свободный член h равен −p2/2y0. Ордината y

точки J пересечения прямых CF и GK равна px0/y0, а абсцисса x этой

точки определяется соотношением

px0

y0

=px

y0

− p2

2y0

.

Это соотношение равносильно равенству x0=x−p/2. Поэтому аб-

сцисса x точки J равна x0+p/2. Координаты вектора

−→

EJ равны

x−x0=p

2

, y−y0=

px0

y0

−y0=

px0

−y20

y0

=

y20

2y0

=−y0

2

.

Поэтому угловой коэффициент прямой EJ равен

−y0

2

: p

2

=

−y0

p

. Так

как этот угловой коэффициент совпадает с угловым коэффициентом

прямой (12.5), прямая EJ является нормалью к параболе (5.4).

Соприкасающиеся окружности

В V книге <Конических сечений> и в последующих книгах Апол-

лоний рассматривает конические сечения только в прямоугольных

координатах, осями абсцисс которых являются оси этих сечений.

По-видимому, эти книги были написаны как продолжение четы-

рех книг <Начал конических сечений> Евклида, а позже Аполлоний

заменил в I—IV книгах прямой круговой конус наклонным, а прямо-

угольные координаты—косоугольными.

Во многих предложениях V книги важную роль играют отрезки p,

равные половине прямой стороны конического сечения. Эти отрезки

тесно связаны с понятием соприкасающейся окружности к кониче-

скому сечению, т. е. предельного положения окружности, проходящей

через три близкие точки конического сечения, при стремлении второй

и третьей из этих точек к первой. Соприкасающуюся окружность назы-

вают также <кругом кривизны> конического сечения, а центр и радиус

этой окружности называют <центром кривизны> и <радиусом кривиз-

ны> конического сечения в данной его точке.

Величина, обратная радиусу кривизны, называется <кривизной

конического сечения> в данной точке. В современной дифференциаль-

ной геометрии кривизна кривой в данной ее точке определяется как

предел отношения угла между касательными в этой точке и в точке,

близкой к ней, к длине дуги кривой между этими точками при стрем-

лении второй точки к первой.

Радиус кривизны конического сечения (5.12) в его вершине O,

являющейся началом системы прямоугольных координат, равен пара-

метру p этого конического сечения. В самом деле, рассмотрим близкие

к вершине O точки M и N конического сечения с абсциссой h

(рис. 73, а). Тогда, если радиус окружности MON равен rh,

r2h

=(rh

−h)2+y2=r2h

−2rhh+h2+2ph+(e2−1)h2,

rh=p+e2h

2

.

При стремлении точек M и N к O, т. е. при стремлении h к нулю, мы

получим в пределе r=lim

h→0

rh=p.

На рис. 73, б—г изображены круги кривизны параболы, гиперболы

и эллипса в их вершинах. Заметим, что центр кривизны конического

сечения в его вершине расположен на оси сечения по ту же сторону,

что и фокус, ближайший к этой вершине. В случае эллипса из форму-

лы (5.10) следует, что радиус кривизны эллипса в его вершине равен

p=a(1−e2), где e—эксцентриситет эллипса. В предложении III45 до-

казано, что расстояние f от вершины эллипса до ближайшего к ней фокуса равно f=a(1−e). Поэтому величины p и f связаны соотно-

шением

f= p

e+1

. (12.8)

В случае гиперболы из формулы (5.11) следует, что радиус кривиз-

ны гиперболы в ее вершине равен p=a(e2−1), где e—эксцентриситет

гиперболы. В предложении III45 доказано, что расстояние f от верши-

ны гиперболы до ближайшего к ней фокуса равно f=a(e−1). Поэтому

в случае гиперболы величины p и f связаны _____тем же соотношением (12.8).

Соотношение (12.8) имеет место также в случае окружности, фо-

кусы которой совпадают с ее центром и для которой e=0 и f=p,

и в случае параболы, для которой e=1 и f=p/2.