Касательные к коническим сечениям

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Первое понятие дифференциальной геометрии—касательные к кри-

вым. Касательные к коническим сечениям были определены в предло-

жениях I17 и I32 <Конических сечений> и применялись в I книге при

определении инверсии относительно окружностей и конических сече-

ний и в III книге при определении полюсов и поляр относительно

конических сечений и фокусов эллипсов и гипербол.

В современной дифференциальной геометрии касательная к кри-

вой, определяемой уравнением F(x, y)=0, в ее точке с координатами

x0, y0, является прямой

F_

x(x−x0)+F_

y(y−y0)=0, (12.1)

где F_

x и F_

y —частные производные функции F(x, y) при x=x0, y=y0.

В случае, когда F(x, y) совпадает с левой частью уравнения (6.23),

F_

x=2(Ax0+By0+D), F_

y=2(Bx0+Cy0+E). (12.2)

Подставляя значения (12.2) в уравнение (12.1), мы получим уравнение

(8.19).

Предложения II49—II53 являются задачами на построение каса-

тельных к коническим сечениям.

Предложение II49—задача о проведении касательных к кониче-

скому сечению из данной точки плоскости.

Если дана точка конического сечения, то из нее опускается пер-

пендикуляр на ось сечения, находится точка этой оси, соответствую-

щая основанию перпендикуляра в инверсии относительно конического

сечения; прямая линия, соединяющая эту точку с данной точкой ко-

нического сечения, является искомой касательной.

Если дана внешняя точка конического сечения, лежащая на его

оси, то находится точка этой оси, соответствующая данной точек в ин-

версии относительно конического сечения, в этой точке восставляется

перпендикуляр к оси; прямая линия, соединяющая точку пересечения

этого перпендикуляра с коническим сечением и данную точку оси,

является искомой касательной.

Если дана произвольная внешняя точка конического сечения, че-

рез эту точку проводится диаметр сечения, находится точка этого

диаметра, соответствующая данной точке в инверсии относительно ко-

нического сечения, из этой точки проводится прямая, параллельная

касательной к коническому сечению в точке его пересечения с диа-

метром; прямая линия, соединяющая точку пересечения этой прямой

с коническим сечением и данную точку диаметра, является искомой

касательной.

Предложения II50 и II53 —задачи о проведении к коническим се-

чениям касательных, образующих данный острый угол с осью сечения

или с диаметром, проходящим через точку касания.

Нормали к коническим сечениям

Нормали к коническим сечениям, т. е. перпендикуляры к ка-

сательным, восставленные в точках касания, для случаев эллипсов

и гипербол рассматривались в предложении III47. В современной диф-

ференциальной геометрии нормаль к кривой F(x, y)=0 в ее точке

с координатами x0, y0 является прямой

F_

y(x−x0)−F_

x(y−y0)=0. (12.3)

В случае конического сечения (6.23), нормаль в его точке с коор-

динатами x0, y0 имеет вид

(Bx0+Cy0+E)(x−x0)−(Ax0+By0+D)(y−y0)=0. (12.4)

В случае параболы (5.4), эллипса (6.16) и гиперболы (6.18), урав-

нение (12.4) принимает, соответственно, вид

y0(x−x0)+p(y−y0)=0, (12.5)

y0

b2 (x−x0)+

x0

a2 (y−y0)=0, (12.6)

y0

b2 (x−x0)−x0

a2 (y−y0)=0. (12.7)

На рис. 71, а—в изображены нормали к коническим сечениям.