Касательные к коническим сечениям
Первое понятие дифференциальной геометрии—касательные к кри-
вым. Касательные к коническим сечениям были определены в предло-
жениях I17 и I32 <Конических сечений> и применялись в I книге при
определении инверсии относительно окружностей и конических сече-
ний и в III книге при определении полюсов и поляр относительно
конических сечений и фокусов эллипсов и гипербол.
В современной дифференциальной геометрии касательная к кри-
вой, определяемой уравнением F(x, y)=0, в ее точке с координатами
x0, y0, является прямой
F_
x(x−x0)+F_
y(y−y0)=0, (12.1)
где F_
x и F_
y —частные производные функции F(x, y) при x=x0, y=y0.
В случае, когда F(x, y) совпадает с левой частью уравнения (6.23),
F_
x=2(Ax0+By0+D), F_
y=2(Bx0+Cy0+E). (12.2)
Подставляя значения (12.2) в уравнение (12.1), мы получим уравнение
(8.19).
Предложения II49—II53 являются задачами на построение каса-
тельных к коническим сечениям.
Предложение II49—задача о проведении касательных к кониче-
скому сечению из данной точки плоскости.
Если дана точка конического сечения, то из нее опускается пер-
пендикуляр на ось сечения, находится точка этой оси, соответствую-
щая основанию перпендикуляра в инверсии относительно конического
сечения; прямая линия, соединяющая эту точку с данной точкой ко-
нического сечения, является искомой касательной.
Если дана внешняя точка конического сечения, лежащая на его
оси, то находится точка этой оси, соответствующая данной точек в ин-
версии относительно конического сечения, в этой точке восставляется
перпендикуляр к оси; прямая линия, соединяющая точку пересечения
этого перпендикуляра с коническим сечением и данную точку оси,
является искомой касательной.
Если дана произвольная внешняя точка конического сечения, че-
рез эту точку проводится диаметр сечения, находится точка этого
диаметра, соответствующая данной точке в инверсии относительно ко-
нического сечения, из этой точки проводится прямая, параллельная
касательной к коническому сечению в точке его пересечения с диа-
метром; прямая линия, соединяющая точку пересечения этой прямой
с коническим сечением и данную точку диаметра, является искомой
касательной.
Предложения II50 и II53 —задачи о проведении к коническим се-
чениям касательных, образующих данный острый угол с осью сечения
или с диаметром, проходящим через точку касания.
Нормали к коническим сечениям
Нормали к коническим сечениям, т. е. перпендикуляры к ка-
сательным, восставленные в точках касания, для случаев эллипсов
и гипербол рассматривались в предложении III47. В современной диф-
ференциальной геометрии нормаль к кривой F(x, y)=0 в ее точке
с координатами x0, y0 является прямой
F_
y(x−x0)−F_
x(y−y0)=0. (12.3)
В случае конического сечения (6.23), нормаль в его точке с коор-
динатами x0, y0 имеет вид
(Bx0+Cy0+E)(x−x0)−(Ax0+By0+D)(y−y0)=0. (12.4)
В случае параболы (5.4), эллипса (6.16) и гиперболы (6.18), урав-
нение (12.4) принимает, соответственно, вид
y0(x−x0)+p(y−y0)=0, (12.5)
y0
b2 (x−x0)+
x0
a2 (y−y0)=0, (12.6)
y0
b2 (x−x0)−x0
a2 (y−y0)=0. (12.7)
На рис. 71, а—в изображены нормали к коническим сечениям.