Изотропный аналог круговых преобразований

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

В псевдоевклидовом пространстве, расстояние между точками ко-

торого определяется по формуле (11.8), кроме евклидовых плоскостей,

таких как y=0, и псевдоевклидовых плоскостей, таких как z=0,

имеются также изотропные плоскости, такие как y=z. Евклидовы

плоскости не содержат вещественных изотропных прямых, все отрезки

которых имеют нулевую длину, через каждую точку псевдоевклидовой

плоскости проходят две изотропные прямые, через каждую точку изо-

тропной плоскости проходит одна изотропная прямая.

Инверсия относительно параболы, определенная Аполлонием

в предложении I35 <Конических сечений>, связана с геометрией изо-

тропной плоскости.

На изотропной плоскости расстояние d между точками с коорди-

натами x1, y1 и x2, y2 определяется по формуле

d=|x2

−x1

|, (11.11)

а в случае, когда d=0, между этими точками определяется расстояние

d_=|y2

−y1

|. (11.12)

Изотропными прямыми этой плоскости являются прямые x=const.

Если на изотропной плоскости задан треугольник ABC, сторо-

на BC которого расположена на изотропной прямой, находящейся

на расстоянии d=1 от точки A, то за величину угла BAC принимает-

ся расстояние d_ между точками B и C.

Геометрическим местом точек изотропной плоскости, отстоящих от точки O с координатами x0, y0 на расстоянии r, является пара

изотропных прямых, определяемых уравнением

(x−x0)2=r2. (11.13)

Будем называть пару изотропных прямых

(11.13) с данной точкой O окружностью изотропной

плоскости с центром O и радиусом r. В случае, когда

x0=y0=0, формула (11.13) принимает вид

x2=r2. (11.14)

На изотропной плоскости можно определить ин-

версии относительно окружностей. В случае окруж-

ности (11.14) инверсия имеет вид (10.7), где z2

в случае этой плоскости равняется x2 (рис. 67).

Другим аналогом окружностей на изотропной плоскости являются циклы, имеющие вид парабол

с изотропными диаметрами.

Как известно, в окружности евклидовой плоскости все вписанные углы PAQ с произвольной вершиной A, опирающиеся на одну и ту же дугу PQ, равны между собой, так как каждый

из них равен половине центрального угла POQ (рис. 68, а). Докажем, что циклы изотропной плоскости обладают аналогичным свойством, т. е. циклы являются геометрическими местами точек этой плоскости, из которых отрезок неизотропной прямой виден под одним и тем же углом.

Рассмотрим отрезок PQ неизотропной прямой и углы PAQ равной величины, опирающиеся на этот отрезок. Эти углы равны длине d_ отрезка BC между точкой B прямой AP и точкой C прямой AQ, расстояния d от которых до точки A равны 1 (рис. 68, б). Пусть координаты точки A равны x, y, координаты точки P равны p, q, а координаты точки Q равны (r, s). Тогда

координаты любой точки прямой AP равны x+(p−x)t, y+(q−y)t.

Для точки B значение t равно 1/(p−x), и ордината точки B равна

y+(q−y)/(p−x). Аналогично получаем, что ордината точки C равна

y+(s−y)/(r−x). Поэтому величина K угла PAQ равна

K=s−y

r−x

−q−y

p−x

. (11.15)

Соотношение (11.15) является уравнением искомого геометрического

места. Это уравнение можно переписать в виде

(r−p)y=Kx2+((r−q)−(p−r)K)x+qr−sp+rpK,

т. е. уравнение (11.15) является уравнением цикла.

Этим свойством обладают все циклы изотропной плоскости.На рис. 69 изображена инверсия относительно цикла изотропной плоскости.

Движениями изотропной плоскости называются взаимно однозначные преобразования этой плоскости, сохраняющие расстояния d и d_ между ее точками. Эти преобразования имеют вид

x_=Ax+C, y_=Dx+Ey+F, (11.16)

где |A|=|E|=1. Преобразования (11.16) при |A|_=1, |E|_=1 называются подобиями изотропной плоскости.

Для того чтобы инверсии относительно окружностей (11.13) были бы взаимно однозначными преобразованиями, изотропную плоскость следует дополнить одной бесконечно удаленной точкой, в которую при инверсиях переходят центры окружностей, и идеальными точками, в которые переходят точки изотропных прямых, проходящих через центры окружностей. Изотропная плоскость, дополненная таким образом, называется <квазиконформной плоскостью>. Квазиконформная плоскость находится во взаимно однозначном и взаимно непрерывном со-

ответствии с прямым круговым цилиндром. Такое соответствие можно

получить с помощью стереографической проекции цилиндра x2+y2=

=1 из его точки с координатами (0, 1, 0) на плоскость y=0 (рис. 70).

Проекции прямолинейных образующих цилиндра будем считать

изотропными прямыми квазиконформной плоскости.

Проекции сечений цилиндра плоскостями, проходящими через

центр проекции, являются неизотропными прямыми квазиконформной

плоскости.

Проекции сечений цилиндра плоскостями, не проходящими через

центр проекции и не параллельными плоским образующим цилиндра,

являются циклами квазиконформной плоскости.

Будем рассматривать неизотропные прямые квазиконформной

плоскости как циклы этой плоскости, проходящие через ее бесконеч-

но удаленную точку.

Преобразования квазиконформной плоскости, являющиеся произ-

ведениями подобий и инверсий относительно окружностей и циклов,

переводят циклы в циклы и называются <циклическими преобразо-

ваниями>. Эти преобразования изображаются на поверхности цилин-

дра отображениями, определяемыми проективными преобразованиями,

переводящими поверхность цилиндра в себя. Циклические преобра-

зования квазиконформной плоскости являются аналогами круговых

преобразований конформной плоскости.

Четырехмерный аналог изотропной плоскости с координатами x, y,

z, t применяется для геометрической интерпретации пространства-вре-

мени классической механики.

Ту роль, которую для евклидовой и псевдоевклидовой плоско-

стей играют комплексные и двойные числа, для изотропной плоскости

играют дуальные числа z=x+εy, где ε2=0. Плоскость дуального пе-

ременного можно рассматривать как изотропную плоскость, причем

на расстояние d между дуальными числами z1=x1+εy1, z2=x2+εy2

принимается |x2

−x1

|, а при d=0 за расстояние d_ между этими числа-

ми принимается |y2

−y1

|.

Движения изотропной плоскости имеют вид (10.8) при |A|2=1,

подобия изотропной плоскости имеют вид (10.8) при |A|2 _=1.

Движения изотропной плоскости z_=(1+εt)z являются сдвигами

вдоль изотропных прямых, отличающимися от сдвигов (7.6) взаимной

заменой координат x и y.

Плоскость дуального переменного, дополненную бесконечно уда-

ленной и идеальными точками, можно рассматривать как квазикон-

формную плоскость.

Циклические преобразования этой плоскости можно записать

в виде (10.9).

Окружность на плоскости дуального переменного с центром O

и радиусом r определяется уравнением (10.12), которое можно перепи-

сать либо в виде (10.13), либо в виде (10.14). Инверсия относительно

окружностей (10.13) и (10.14) имеет, соответственно, вид (10.15)

и (10.16).

Циклы на плоскости дуального переменного определяются урав-

нениями (10.13). Инверсия относительно цикла (10.13) имеет вид

(10.15).

Более подробно об изотропной и квазиконформной геометрии

см. [17, с. 262—389].