Кремоновы преобразования

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Инверсии относительно эллипсов, гипербол и парабол, так же

как инверсии относительно окружностей, являются инволютивными

преобразованиями. Так как все эти преобразования выражаются ра-

циональными функциями координат и совпадают с преобразованиями,

обратными к ним, все они являются бирациональными преобразовани-

ями, т. е. такими преобразованиями, что и сами они, и обратные к ним

преобразования выражаются рациональными функциями координат.

Бирациональные преобразования называются также кремоновыми

преобразованиями по имени Луиджи Кремоны (1830—1903), который

создал общую теорию этих преобразований.

И. Ньютон в <Перечислении линий третьего порядка> указал де-

вять кривых третьего порядка, получаемых из конических сечений

бирациональными преобразованиями, которые он называл <гипербо-

лизмами>.

Б. А. Розенфельд и З. А. Скопец [20] доказали, что всякое ква-

дратичное кремоново преобразование является комбинацией инверсии

относительно окружности, равносторонней гиперболы или параболы

и проективного преобразования.

Инверсии относительно эллипсов, гипербол и парабол можно рас-

сматривать как кремоновы симметрии относительно этих сечений.

Псевдоевклидов аналог круговых преобразований

Особую роль среди инверсий относительно гипербол играют такие

инверсии, в которых гиперболы—равносторонние, асимптоты кото-

рых направлены по биссектрисам координатных углов прямоуголь-

ной системы координат. Такие гиперболы можно рассматривать как

окружности псевдоевклидовой плоскости, т. е. плоскости, на которой

расстояние d между точками с координатами x1, y1) и x2, y2 опреде-

ляется по формуле

d2=(x2

−x1)2−(y2

−y1)2. (11.3)

Расстояния на такой плоскости могут быть вещественными и чисто

мнимыми. На прямых с направляющими векторами

−→i +

−→j и

−→i

−−→j

расстояния равны нулю, такие прямые называются <изотропными>.

Окружности псевдоевклидовой плоскости определяются урав-

нениями

(x−x0)2−(y−y0)2=r2, (11.4)

где радиус r может быть вещественным и чисто мнимым.

В случае, когда x0=y0=0, уравнение (11.4) принимает вид

x2−y2=r2. (11.5)

Поляра точки M с координатами x1, y1 относительно окружности (11.5) определяется уравне-

нием

x1x−y1y=r2. (11.6)

В случае, когда y=0, уравнение (11.6) при-

нимает вид x1x=r2. Поэтому абсцисса x2 точки N

определяется соотношением (10.3), которое можно

переписать в виде (10.4).

Поэтому инверсия относительно окружности

(11.5) при r2>0 (рис. 65, а) переводит всякую

точку M плоскости в такую точку N прямой OM,

которая находится по ту же сторону от точки O,

что и точка M, и удовлетворяет условию (10.4).

Инверсия относительно окружности (11.5) при

r2<0 (рис. 65, б) переводит всякую точку M плос-

кости в такую точку N прямой OM, которая находится по другую

сторону от точки O и удовлетворяет условию (10.4).

На псевдоевклидовой плоскости скалярное произведение векторов

−→z 1=x1

−→i +y1

−→j и −→z 2=x2

−→i +y2

−→j имеет вид

−→z 1

−→z 2=x1x2

−y1y2. (11.7)

Если радиус-вектор точки с координатами x, y является вектором

−→z =x

−→i +y

−→j , то уравнения (11.3) и (11.4) можно записать в векторной

форме (10.5) и (10.6), где в левой части стоят скалярные квадраты

векторов −→z −−→z 0 и −→z .

Если мы обозначим векторы

−−→

OM и

−−→

ON через −→z и −→z _ , то инверсию

относительно окружности (11.5) можно записать в векторной форме

(10.7).

Для того чтобы инверсии относительно окружностей псевдоевкли-

довой плоскости были бы взаимно однозначными преобразованиями,

следует дополнить псевдоевклидову плоскость одной бесконечно уда-

ленной точкой, которая при инверсиях относительно всех окружностей

соответствует центрам этих окружностей, и <идеальными точками>, ко-

торые при инверсиях относительно всех окружностей соответствуют

точкам асимптот этих окружностей. Псевдоевклидова плоскость, до-

полненная таким образом, называется псевдоконформной плоскостью.

Прямые псевдоевклидовой плоскости можно рассматривать как

окружности псевдоконформной плоскости, проходящей через ее бес-

конечно удаленную точку.

Псевдоконформная плоскость находится во взаимно однознач-

ном и взаимно непрерывном соответствии с линейчатой поверхно-

стью второго порядка в проективном пространстве. Для установления

этого соответствия следует определить псевдоевклидово пространство,

в котором расстояние d между точками с координатами x1, y1, z1 и x2, y2, z2 задается формулой

d2=(x2

−x1)2−(y2

−y1)2+

+(z2

−z1)2. (11.8)

Псевдоевклидову плоскость следует погрузить в это пространство в виде плоскости z=0. В псевдоевклидовом пространстве следует рассмотреть сферу

x2−y2+z2=1 (11.9)

и установить стереографическую проекцию этой сферы из ее точки

S(0, 0, 1) на плоскость z=0, параллельную касательной плоскости z=1

к сфере в центре проекции (рис. 66). Затем следует дополнить псевдо-

евклидово пространство до проективного. При этом дополнении сфера

(11.9) превратится в линейчатую поверхность второго порядка. При

указанной проекции плоские сечения сферы, проходящие через центр

проекции, изобразятся прямыми псевдоевклидовой плоскости, плоские

сечения сферы, не проходящие через центр проекции,—окружностями

этой плоскости, а прямолинейные образующие сферы—изотропными

прямыми плоскости. Центр стереографической проекции изображает

бесконечно удаленную точку псевдоконформной плоскости, а прямо-

линейные образующие сферы, проходящие через центр проекции,—

идеальные прямые, состоящие из идеальных точек псевдоконформной

плоскости.

Заметим, что сфера

x2−y2+z2=−1 (11.10)

мнимого радиуса имеет вид двуполостного гиперболоида, каждая из по-

лостей которого изометрична плоскости Лобачевского; стереографи-

ческая проекция этой сферы из ее точки с координатами (0, 1, 0)

на евклидову плоскость y=0 определяет интерпретацию Пуанкаре

плоскости Лобачевского в круге евклидовой плоскости, а проекция

этой сферы из ее центра на евклидову плоскость y=1—интерпрета-

цию Клейна плоскости Лобачевского в круге евклидовой плоскости.

Четырехмерный аналог псевдоевклидова пространства с коорди-

натами x, y, z, t применяется для геометрической интерпретации

пространства-времени в специальной теории относительности.

Взаимно однозначные преобразования псевдоконформной плоско-

сти, переводящие окружности этой плоскости в окружности, так же,

как в случае конформной плоскости, называются круговыми преобра-

зованиями. Эти преобразования изображаются проективными преобра-

зованиями проективного пространства, переводящими в себя линейча-

тую поверхность второго порядка.

При инверсии относительно окружности (11.4) псевдоевклидо-

вой плоскости точки этой окружности остаются неподвижными, центр

окружности переходит в бесконечно удаленную точку псевдоконформ-

ной плоскости, а асимптоты окружности переходят в идеальные пря-

мые этой плоскости. Нетрудно проверить, что при инверсии (10.7)

окружности псевдоконформной плоскости переходят в окружности

и сохраняются углы между линиями.

Так как инверсии относительно окружностей псевдоконформной

плоскости являются инволютивными преобразованиями, при которых

точки этих окружностей остаются неподвижными, эти инверсии можно

рассматривать как псевдоконформные симметрии относительно окруж-

ностей.

Ту роль, которую для евклидовой плоскости играют комплексные

числа, для псевдоевклидовой плоскости играют двойные числа z=

=x+ey, где e2=1.

Плоскость двойного переменного можно рассматривать как псев-

доевклидову плоскость, причем за расстояние между двойными числа-

ми z1 и z2 принимается модуль |z2

−z1

| их разности (квадрат модуля |z|

двойного числа z равен произведению zz числа z на сопряженное двой-

ное число z=x−ey, т. е. |z|2=x2−y2).

Движения псевдоевклидовой плоскости имеют вид (10.8) при

|A|2=1, подобия псевдоевклидовой плоскости имеют вид (10.8) при

|A|2>0, |A|2 _=1. Преобразования (10.8) при |A|2=−1 называются <ан-

тидвижениями>, преобразования (10.8) при |A|2<0, |A|2 _=−1 назы-

ваются <антиподобиями> псевдоевклидовой плоскости. Движения z_=

=(ch φ+e sh φ)z псевдоевклидовой плоскости являются гиперболиче-

скими поворотами (7.9).

Плоскость двойного переменного, дополненную бесконечно уда-

ленной и идеальными точками, можно рассматривать как псевдокон-

формную плоскость. Круговые преобразования этой плоскости имеют

вид (10.9).

На плоскости двойного переменного можно определить двойные

отношения четверок точек (10.10), которые при круговых преобра-

зованиях (10.9) этой плоскости сохраняются или заменяются сопря-

женными двойными числами. Двойные отношения четверок точек

вещественны, если эти точки лежат на одной прямой или окружности.

Окружность на плоскости двойного переменного с центром z0 и ра-

диусом r определяется уравнением (10.12), которое можно переписать

в виде (10.13) и (10.14). Инверсии относительно окружностей (10.13)

и (10.14) имеют, соответственно, вид (10.15) и (10.16).

Произвольные конформные преобразования псевдоевклидовой

плоскости определяются дифференцируемыми функциями двойного

переменного w=f(z) и функциями, получаемыми из дифференцируе-

мых функций переходом к сопряженным двойным числам. В случае

таких функций имеют место соотношения (10.11). Функции (10.9), определяющие круговые преобразования плоскости двойного перемен-

ного, являются частными случаями этих функций.

Более подробно о псевдоевклидовой и псевдоконформной геоме-

трии см. [16, с. 517—597].