Кремоновы преобразования
Инверсии относительно эллипсов, гипербол и парабол, так же
как инверсии относительно окружностей, являются инволютивными
преобразованиями. Так как все эти преобразования выражаются ра-
циональными функциями координат и совпадают с преобразованиями,
обратными к ним, все они являются бирациональными преобразовани-
ями, т. е. такими преобразованиями, что и сами они, и обратные к ним
преобразования выражаются рациональными функциями координат.
Бирациональные преобразования называются также кремоновыми
преобразованиями по имени Луиджи Кремоны (1830—1903), который
создал общую теорию этих преобразований.
И. Ньютон в <Перечислении линий третьего порядка> указал де-
вять кривых третьего порядка, получаемых из конических сечений
бирациональными преобразованиями, которые он называл <гипербо-
лизмами>.
Б. А. Розенфельд и З. А. Скопец [20] доказали, что всякое ква-
дратичное кремоново преобразование является комбинацией инверсии
относительно окружности, равносторонней гиперболы или параболы
и проективного преобразования.
Инверсии относительно эллипсов, гипербол и парабол можно рас-
сматривать как кремоновы симметрии относительно этих сечений.
Псевдоевклидов аналог круговых преобразований
Особую роль среди инверсий относительно гипербол играют такие
инверсии, в которых гиперболы—равносторонние, асимптоты кото-
рых направлены по биссектрисам координатных углов прямоуголь-
ной системы координат. Такие гиперболы можно рассматривать как
окружности псевдоевклидовой плоскости, т. е. плоскости, на которой
расстояние d между точками с координатами x1, y1) и x2, y2 опреде-
ляется по формуле
d2=(x2
−x1)2−(y2
−y1)2. (11.3)
Расстояния на такой плоскости могут быть вещественными и чисто
мнимыми. На прямых с направляющими векторами
−→i +
−→j и
−→i
−−→j
расстояния равны нулю, такие прямые называются <изотропными>.
Окружности псевдоевклидовой плоскости определяются урав-
нениями
(x−x0)2−(y−y0)2=r2, (11.4)
где радиус r может быть вещественным и чисто мнимым.
В случае, когда x0=y0=0, уравнение (11.4) принимает вид
x2−y2=r2. (11.5)
Поляра точки M с координатами x1, y1 относительно окружности (11.5) определяется уравне-
нием
x1x−y1y=r2. (11.6)
В случае, когда y=0, уравнение (11.6) при-
нимает вид x1x=r2. Поэтому абсцисса x2 точки N
определяется соотношением (10.3), которое можно
переписать в виде (10.4).
Поэтому инверсия относительно окружности
(11.5) при r2>0 (рис. 65, а) переводит всякую
точку M плоскости в такую точку N прямой OM,
которая находится по ту же сторону от точки O,
что и точка M, и удовлетворяет условию (10.4).
Инверсия относительно окружности (11.5) при
r2<0 (рис. 65, б) переводит всякую точку M плос-
кости в такую точку N прямой OM, которая находится по другую
сторону от точки O и удовлетворяет условию (10.4).
На псевдоевклидовой плоскости скалярное произведение векторов
−→z 1=x1
−→i +y1
−→j и −→z 2=x2
−→i +y2
−→j имеет вид
−→z 1
−→z 2=x1x2
−y1y2. (11.7)
Если радиус-вектор точки с координатами x, y является вектором
−→z =x
−→i +y
−→j , то уравнения (11.3) и (11.4) можно записать в векторной
форме (10.5) и (10.6), где в левой части стоят скалярные квадраты
векторов −→z −−→z 0 и −→z .
Если мы обозначим векторы
−−→
OM и
−−→
ON через −→z и −→z _ , то инверсию
относительно окружности (11.5) можно записать в векторной форме
(10.7).
Для того чтобы инверсии относительно окружностей псевдоевкли-
довой плоскости были бы взаимно однозначными преобразованиями,
следует дополнить псевдоевклидову плоскость одной бесконечно уда-
ленной точкой, которая при инверсиях относительно всех окружностей
соответствует центрам этих окружностей, и <идеальными точками>, ко-
торые при инверсиях относительно всех окружностей соответствуют
точкам асимптот этих окружностей. Псевдоевклидова плоскость, до-
полненная таким образом, называется псевдоконформной плоскостью.
Прямые псевдоевклидовой плоскости можно рассматривать как
окружности псевдоконформной плоскости, проходящей через ее бес-
конечно удаленную точку.
Псевдоконформная плоскость находится во взаимно однознач-
ном и взаимно непрерывном соответствии с линейчатой поверхно-
стью второго порядка в проективном пространстве. Для установления
этого соответствия следует определить псевдоевклидово пространство,
в котором расстояние d между точками с координатами x1, y1, z1 и x2, y2, z2 задается формулой
d2=(x2
−x1)2−(y2
−y1)2+
+(z2
−z1)2. (11.8)
Псевдоевклидову плоскость следует погрузить в это пространство в виде плоскости z=0. В псевдоевклидовом пространстве следует рассмотреть сферу
x2−y2+z2=1 (11.9)
и установить стереографическую проекцию этой сферы из ее точки
S(0, 0, 1) на плоскость z=0, параллельную касательной плоскости z=1
к сфере в центре проекции (рис. 66). Затем следует дополнить псевдо-
евклидово пространство до проективного. При этом дополнении сфера
(11.9) превратится в линейчатую поверхность второго порядка. При
указанной проекции плоские сечения сферы, проходящие через центр
проекции, изобразятся прямыми псевдоевклидовой плоскости, плоские
сечения сферы, не проходящие через центр проекции,—окружностями
этой плоскости, а прямолинейные образующие сферы—изотропными
прямыми плоскости. Центр стереографической проекции изображает
бесконечно удаленную точку псевдоконформной плоскости, а прямо-
линейные образующие сферы, проходящие через центр проекции,—
идеальные прямые, состоящие из идеальных точек псевдоконформной
плоскости.
Заметим, что сфера
x2−y2+z2=−1 (11.10)
мнимого радиуса имеет вид двуполостного гиперболоида, каждая из по-
лостей которого изометрична плоскости Лобачевского; стереографи-
ческая проекция этой сферы из ее точки с координатами (0, 1, 0)
на евклидову плоскость y=0 определяет интерпретацию Пуанкаре
плоскости Лобачевского в круге евклидовой плоскости, а проекция
этой сферы из ее центра на евклидову плоскость y=1—интерпрета-
цию Клейна плоскости Лобачевского в круге евклидовой плоскости.
Четырехмерный аналог псевдоевклидова пространства с коорди-
натами x, y, z, t применяется для геометрической интерпретации
пространства-времени в специальной теории относительности.
Взаимно однозначные преобразования псевдоконформной плоско-
сти, переводящие окружности этой плоскости в окружности, так же,
как в случае конформной плоскости, называются круговыми преобра-
зованиями. Эти преобразования изображаются проективными преобра-
зованиями проективного пространства, переводящими в себя линейча-
тую поверхность второго порядка.
При инверсии относительно окружности (11.4) псевдоевклидо-
вой плоскости точки этой окружности остаются неподвижными, центр
окружности переходит в бесконечно удаленную точку псевдоконформ-
ной плоскости, а асимптоты окружности переходят в идеальные пря-
мые этой плоскости. Нетрудно проверить, что при инверсии (10.7)
окружности псевдоконформной плоскости переходят в окружности
и сохраняются углы между линиями.
Так как инверсии относительно окружностей псевдоконформной
плоскости являются инволютивными преобразованиями, при которых
точки этих окружностей остаются неподвижными, эти инверсии можно
рассматривать как псевдоконформные симметрии относительно окруж-
ностей.
Ту роль, которую для евклидовой плоскости играют комплексные
числа, для псевдоевклидовой плоскости играют двойные числа z=
=x+ey, где e2=1.
Плоскость двойного переменного можно рассматривать как псев-
доевклидову плоскость, причем за расстояние между двойными числа-
ми z1 и z2 принимается модуль |z2
−z1
| их разности (квадрат модуля |z|
двойного числа z равен произведению zz числа z на сопряженное двой-
ное число z=x−ey, т. е. |z|2=x2−y2).
Движения псевдоевклидовой плоскости имеют вид (10.8) при
|A|2=1, подобия псевдоевклидовой плоскости имеют вид (10.8) при
|A|2>0, |A|2 _=1. Преобразования (10.8) при |A|2=−1 называются <ан-
тидвижениями>, преобразования (10.8) при |A|2<0, |A|2 _=−1 назы-
ваются <антиподобиями> псевдоевклидовой плоскости. Движения z_=
=(ch φ+e sh φ)z псевдоевклидовой плоскости являются гиперболиче-
скими поворотами (7.9).
Плоскость двойного переменного, дополненную бесконечно уда-
ленной и идеальными точками, можно рассматривать как псевдокон-
формную плоскость. Круговые преобразования этой плоскости имеют
вид (10.9).
На плоскости двойного переменного можно определить двойные
отношения четверок точек (10.10), которые при круговых преобра-
зованиях (10.9) этой плоскости сохраняются или заменяются сопря-
женными двойными числами. Двойные отношения четверок точек
вещественны, если эти точки лежат на одной прямой или окружности.
Окружность на плоскости двойного переменного с центром z0 и ра-
диусом r определяется уравнением (10.12), которое можно переписать
в виде (10.13) и (10.14). Инверсии относительно окружностей (10.13)
и (10.14) имеют, соответственно, вид (10.15) и (10.16).
Произвольные конформные преобразования псевдоевклидовой
плоскости определяются дифференцируемыми функциями двойного
переменного w=f(z) и функциями, получаемыми из дифференцируе-
мых функций переходом к сопряженным двойным числам. В случае
таких функций имеют место соотношения (10.11). Функции (10.9), определяющие круговые преобразования плоскости двойного перемен-
ного, являются частными случаями этих функций.
Более подробно о псевдоевклидовой и псевдоконформной геоме-
трии см. [16, с. 517—597].