Инверсии относительно эллипсов и гипербол
В предложении I37 <Конических сечений> Аполлоний определяет,
кроме инверсии относительно окружности, также инверсии относи-
тельно эллипса и гиперболы с центром O. Эти инверсии, как и в случае
окружности, являются переходами от произвольной точки M плоскости
к точке N пересечения диаметра OM с полярой точки M относительно
конического сечения.
В первом утверждении предложения I37, относящемся к элли-
псу и гиперболе, доказывается, что произведение отрезков GD и GE,
соединяющих центр G конического сечения с точками D и E, со-
ответствующими друг другу в инверсии, равно квадрату отрезка GB,
соединяющего центр G сечения с точкой B пересечения эллипса или
гиперболы с прямой GD (рис. 63, а, б). Это утверждение равносильно
формуле (10.4), где r—половина диаметра AB.
В случае эллипса и гиперболы 2a/2p=a2/b2. Поэтому второе
утверждение этого предложения, относящееся к эллипсу и гиперболе,
равносильно пропорции
a2
b2 =DE・EG
EC2 . (11.1)
В случае эллипса DE=GD−GE, и формулу (11.1) можно перепи-
сать в виде
a2
b2 =(GD−GE)・GE
EC2 =GD・EG−GE2
EC2 .
Сравнив эту формулу с уравнением эллипса с двумя абсциссами
(5.7), которое можно переписать в виде
EC2=b2
a2
・AE・EB, (11.2)
мы находим, что
GD・GE−GE2=AE・EB=(GB+GE)(GB−GE)=GB2−GE2,
откуда получаем равенство GD・GE=GB2, равносильное равенству (10.4).
В случае гиперболы DE=GE−GD и формулу (11.1) можно пере-
писать в виде
a2
b2 =(GE−GD)・GE
EC2 =GE2−GD・EG
EC2 .
Сравнивая эту формулу с уравнением гиперболы с двумя аб-
сциссами (5.8), которое также можно переписать в виде (11.2), мы
находим, что
GE2−GD・GE=AE・EB=(GE+GB)(GE−GB)=GE2−GB2,
откуда снова получаем равенство GD・GE=GB2, равносильное равен-
ству (10.4).