Инверсии относительно эллипсов и гипербол

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

В предложении I37 <Конических сечений> Аполлоний определяет,

кроме инверсии относительно окружности, также инверсии относи-

тельно эллипса и гиперболы с центром O. Эти инверсии, как и в случае

окружности, являются переходами от произвольной точки M плоскости

к точке N пересечения диаметра OM с полярой точки M относительно

конического сечения.

В первом утверждении предложения I37, относящемся к элли-

псу и гиперболе, доказывается, что произведение отрезков GD и GE,

соединяющих центр G конического сечения с точками D и E, со-

ответствующими друг другу в инверсии, равно квадрату отрезка GB,

соединяющего центр G сечения с точкой B пересечения эллипса или

гиперболы с прямой GD (рис. 63, а, б). Это утверждение равносильно

формуле (10.4), где r—половина диаметра AB.

В случае эллипса и гиперболы 2a/2p=a2/b2. Поэтому второе

утверждение этого предложения, относящееся к эллипсу и гиперболе,

равносильно пропорции

a2

b2 =DEEG

EC2 . (11.1)

В случае эллипса DE=GD−GE, и формулу (11.1) можно перепи-

сать в виде

a2

b2 =(GD−GE)GE

EC2 =GDEG−GE2

EC2 .

Сравнив эту формулу с уравнением эллипса с двумя абсциссами

(5.7), которое можно переписать в виде

EC2=b2

a2

AEEB, (11.2)

мы находим, что

GDGE−GE2=AEEB=(GB+GE)(GB−GE)=GB2−GE2,

откуда получаем равенство GDGE=GB2, равносильное равенству (10.4).

В случае гиперболы DE=GE−GD и формулу (11.1) можно пере-

писать в виде

a2

b2 =(GE−GD)GE

EC2 =GE2−GDEG

EC2 .

Сравнивая эту формулу с уравнением гиперболы с двумя аб-

сциссами (5.8), которое также можно переписать в виде (11.2), мы

находим, что

GE2−GDGE=AEEB=(GE+GB)(GE−GB)=GE2−GB2,

откуда снова получаем равенство GDGE=GB2, равносильное равен-

ству (10.4).