Конформные образы симметрии
Так как соотношение (10.4) симметрично относительно точек X
и X_ , инверсия относительно окружности является инволютивным
круговым преобразованием. Поэтому окружности являются образами
симметрии конформной плоскости, роль симметрии относительно этих
образов играют инверсии, переводящие внутреннюю область окружно-
стей в их внешние области, а внешние области—во внутренние.
Стереографическая проекция переводит инверсию относительно
окружности на плоскости в такое преобразование сферы, которое опре-
деляется проективной симметрией пространства относительно ноль-
пары, состоящей из плоскости, высекающей окружность из сферы,
и из полюса этой плоскости относительно сферы.
Окружность на плоскости комплексного переменного с центром z0
и радиусом r определяется уравнением
(z−z0)(z−z0)=r2, (10.12)
которое можно переписать в виде
Azz+Bz+Bz+C=0 (A=A, C=C) (10.13)
либо в виде
Azz+Bz−Bz+C=0 (A=−A, C=−C). (10.14)
Инверсия относительно окружности (10.13) имеет вид
z_=−Bz+C
Az+B
. (10.15)
Инверсия относительно окружности (10.14) имеет вид
z_=Bz−C
Az+B
. (10.16)
На конформной плоскости имеется и другой вид образов симме-
трии—пары точек. Симметрия относительно пары точек A, B, перево-
дящая точку X в точку X_ , имеет тот же вид (8.23), что и симметрия
относительно пары точек на проективной прямой. Если точки A, B,
X, X_ изображаются комплексными числами a, b, z, z_ , эта симметрия
изображается на плоскости комплексного переменного преобразованием
z_=2ab−(a+b)z
a+b−2z
, (10.17)
аналогичным преобразованию (8.24) проективной прямой.