Конформные образы симметрии

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Так как соотношение (10.4) симметрично относительно точек X

и X_ , инверсия относительно окружности является инволютивным

круговым преобразованием. Поэтому окружности являются образами

симметрии конформной плоскости, роль симметрии относительно этих

образов играют инверсии, переводящие внутреннюю область окружно-

стей в их внешние области, а внешние области—во внутренние.

Стереографическая проекция переводит инверсию относительно

окружности на плоскости в такое преобразование сферы, которое опре-

деляется проективной симметрией пространства относительно ноль-

пары, состоящей из плоскости, высекающей окружность из сферы,

и из полюса этой плоскости относительно сферы.

Окружность на плоскости комплексного переменного с центром z0

и радиусом r определяется уравнением

(z−z0)(z−z0)=r2, (10.12)

которое можно переписать в виде

Azz+Bz+Bz+C=0 (A=A, C=C) (10.13)

либо в виде

Azz+Bz−Bz+C=0 (A=−A, C=−C). (10.14)

Инверсия относительно окружности (10.13) имеет вид

z_=−Bz+C

Az+B

. (10.15)

Инверсия относительно окружности (10.14) имеет вид

z_=Bz−C

Az+B

. (10.16)

На конформной плоскости имеется и другой вид образов симме-

трии—пары точек. Симметрия относительно пары точек A, B, перево-

дящая точку X в точку X_ , имеет тот же вид (8.23), что и симметрия

относительно пары точек на проективной прямой. Если точки A, B,

X, X_ изображаются комплексными числами a, b, z, z_ , эта симметрия

изображается на плоскости комплексного переменного преобразованием

z_=2ab−(a+b)z

a+b−2z

, (10.17)

аналогичным преобразованию (8.24) проективной прямой.