Пучки окружностей
Папп в VII книге <Математического собрания> писал, что в на-
чале II книги сочинения Аполлония <Плоские геометрические места>
доказываются следующие предложения: <(1) Если две прямые, про-
веденные из двух точек, пересекаются и если квадраты, построенные
на этих прямых, отличаются на данную площадь, то точка их пересече-
ния находится на прямой, известной по положению. С другой стороны,
(2) если эти прямые находятся в данном отношении, то [точка их пересечения] будет находиться на прямой или на дуге [окружности]> [50, с. 498— 499; 51, с. 110—111].
Геометрическое место, определяемое предложением (1), является прямой, перпендикулярной к прямой линии, соединяющей две данные точки. Если A и B— две данные точки, M —произвольная точка определяемого геометрического места, N —основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую AB, то AM2=AN2+NM2, BM2=BN2+HM2 и разность AM2−BM2=AN2−BN2 равна постоянной площади. Геометрическое место, определяемое предложением (2), является прямой в случае, когда отношение проведенных линий равно 1,
и окружностью, если это отношение больше или меньше 1. На рис. 61
изображена такая окружность, для которой отношение расстояний AM
и BM равно 1/2. Такие окружности рассматривались Аристотелем
в <Метеорологике> при доказательстве того, что радуга имеет форму
дуги круга. Аристотель рассматривал Солнце, восходящее в точке H
окружности круга горизонта, наблюдателя, находящегося в центре K
этого круга, и точку M облака, в которой луч HM отражается в виде
отрезка MK. Аристотель считал, что отношение HM к MK постоянно
и писал: <Точки K и H даны, даны прямые HK и MH, а следователь-
но, и отношение MH к MK. Так вот, [оказывается, что точка] M лежит
на окружности; обозначим эту окружность через NM. Ни к какой дру-
гой окружности, кроме MN, нельзя провести прямых из тех же точек
с тем же отношением друг к другу в той же плоскости> [3, с. 522].
Европейские ученые познакомились с этими окружностями
по описанию Паппа <Плоских геометрических мест> Аполлония, по-
этому в настоящее время эти окружности называются окружностями
Аполлония.
В главе 8 мы определили гиперболические и эллиптические ин-
волюции точек на прямой (8.25) и (8.26). Если для каждой пары
соответственных точек этих инволюций построить окружность, для
которой эти точки являются концами диаметра, мы получим пучки
окружностей. Пучок окружностей, определяемый гиперболической ин-
волюцией, называется гиперболическим пучком (рис. 62, а), пучок
окружностей, определяемый эллиптической инволюцией, называется
эллиптическим пучком (рис. 62, б).
Окружности Аполлония образуют гиперболический пучок. Непо-
движными точками инволюции, определяющей этот пучок, являются
те точки, расстояния которых до точек этих окружностей имеют по-
стоянные отношения. Окружности эллиптического пучка проходят
через две точки, расположенные симметрично относительно прямой
инволюции.
Если на сфере проведены параллели и меридианы, то при
стереографической проекции сферы на плоскость из любой точки сферы параллели изображаются окружностями гиперболического пучка, а меридианы—окружностями эллиптического пучка. В частности, при проецировании небесной сферы на плоскость астролябии альмукантараты (параллели горизонта) изображаются окружностями гиперболического пучка, а вертикали— окружностями эллиптического пучка. При этом неподвижными точками гиперболической инволюции и точками пересечения окружностей эллиптического пучка являются изображения зенита и надира—точки, диаметрально противоположной зениту.
Несомненно, что между предложениями (1) и (2) II книги <Плоских геометрических мест> Аполлония имелось более общее предложение. Пусть A и B—две данные точки, и даны отношение γ и площадь c. Требуется найти геометрическое место точек G, для которых GA2−γGB2=c.
Предложение (1)—частный случай этого предложения при γ=1, предложение (2)—частный случай этого предложения при c=0.
В случае, когда γ больше или меньше 1, геометрические места, определяемые этим предложением,—окружности. Доказательство этого общего предложения со ссылкой на Аполлония было приведено в <Избранных задачах> Ибрахима ибн Синана [44, с. 238].
Круговые преобразования и комплексные числа Плоскость комплексного переменного z=x+iy можно рассматривать как евклидову плоскость, причем за расстояние между комплексными числами z1 и z2 принимается модуль |z2
−z1
| их разности
(квадрат модуля |z| комплексного числа z равен произведению zz числа z на комплексно сопряженное число z=x−iy, т. е. |z|2=x2+y2).
Движения плоскости имеют вид
z_=Az+B, z_=Az+B, (10.8)
где |A|=1, подобия плоскости имеют вид (10.8), где |A|_=1.
Плоскость комплексного переменного, дополненную бесконечно удаленной точкой, можно рассматривать как конформную плоскость.
Круговые преобразования этой плоскости можно записать в виде
z_=Az+B
Cz+D
, z_=Az+B
Cz+D
. (10.9)
На плоскости комплексного переменного можно определить двойные отношения четверок точек:
W(z1, z2; z3, z4)=
z4
−z1
z2
−z4
:
z3
−z1
z2
−z3
. (10.10)
В случае, когда все числа zi вещественны, двойное отношение
(10.10) совпадает с двойным отношением (8.9). При круговых пре-
образованиях (10.9) двойные отношения четверок точек сохраняются
или заменяются комплексно сопряженными числами. Поэтому в слу-
чае, когда все четыре точки zi лежат на одной окружности, двойное
отношение (10.10) вещественно. Двойные отношения четверок точек
на окружностях связаны с вещественными или мнимыми углами меж-
ду окружностями, определяемыми этими четверками точек, как это
показано на рис. 57, а—в, соотношениями (8.10) и (8.11).
Произвольные конформные преобразования плоскости определя-
ются дифференцируемыми функциями комплексного переменного w=
=f(z), обладающими производными dw/dz, и функциями w=f(z), по-
лучаемыми из дифференцируемых функций w=f(z) переходом к ком-
плексно сопряженным числам. В случае таких функций дифференци-
алы dz и dw связаны соотношениями
dw=a dz, dw=a dz, (10.11)
где a—комплексное число. Так как соотношения (10.11)—частные
случаи соотношений (10.8), преобразования (10.11) являются подо-
биями, откуда вытекает конформность отображений, определяемых
указанными функциями. Так как первая из функций (10.9)—алгебра-
ическая функция, обладающая производной, все круговые преобразо-
вания плоскости—в частности, инверсии относительно окружностей—
являются конформными преобразованиями.