Двойные отношения

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Конформную прямую, представляющую собой евклидову прямую,

дополненную одной бесконечно удаленной точкой, можно рассма-

тривать как проективную прямую. Поэтому на конформной прямой,

а также на любой окружности конформной плоскости можно опре-

делить двойные отношения четверок точек. Эти двойные отношения

в случае двух пар точек, разделяющих друг друга, связаны с углами φ

между окружностями, определяемыми этими парами точек, соотноше-

ниями (8.10). В случае пар точек, не разделяющих друг друга, эти двойные отношения связаны с мнимыми углами iψ между окружностями, определяемыми этими парами точек, соотношением (8.11). Эти двойные отношения изображены на рис. 57, а—в, полученных круговыми преобразованиями из рис. 35, а—в. Инверсии относительно окружностей Важнейшим частным случаем кругового преобразования плоскости является инверсия относительно окружности. Инверсию относительно окружности (8.29) с центром O с координатами x0, y0 и радиусом r можно определить как переход от произвольной точки X плоскости к точке X_ пересечения

прямой OX с полярой точки X относительно окружности.

В случае, когда x0=y0=0, уравнение (8.29) принимает вид

x2+y2=r2. (10.1)

Поляра точки X с координатами x1, y1 относительно окружности

(10.1) определяется уравнением

x1x+y1y=r2. (10.2)

В случае, когда y1=0, уравнение (10.2) принимает вид x1x=r2.

Поэтому абсцисса x2 точки X_ определяется соотношением

x1x2=r2. (10.3)

Формулу (10.3) можно переписать в виде

OXOX_=r2. (10.4)

Поэтому инверсия относительно окружности с центром O и радиу-

сом r (рис. 58) переводит всякую точку X плоскости в такую точку X_

прямой OX, которая находится по ту же сторону от точки O, что и точ-

ка X, и удовлетворяет условию (10.4).

Если мы обозначим радиус-вектор x

−→i +y

−→j точки с координатами

x, y через −→z , то уравнения (8.29) и (10.1) можно записать в векторной

форме

(−→z −−→z 0)2=r2, (10.5)

−→z 2=r2, (10.6)

где в левой части формул (10.5) и (10.6) стоят скалярные квадраты

векторов −→z −−→z 0 и −→z .

Если мы обозначим векторы

−−→

OX и

−−→

OX_ через −→z и −→z _ , то инверсию

относительно окружности (10.6) можно записать в векторной форме

−→z _=−→z r2/−→z 2. (10.7)

При инверсии (10.7) точки окружности (10.6) остаются неподвижными, а центр окружности переходит в бесконечно удаленную точку конформной плоскости. Нетрудно проверить, что при инверсии (10.7)

окружности конформной плоскости переходят в окружности и сохраняются углы между линиями.

Аполлоний определил инверсию относительно окружности в предложении I37, которое формулируется следующим образом. <Если касательная прямая к гиперболе, эллипсу или окружности круга пересекается с диаметром и из точки касания проводится ордината к этому диаметру, то прямая, отсекаемая ординатой [от этого диаметра]

со стороны центра сечения, ограничит вместе с прямой, отсекаемой касательной со стороны центра сечения, площадь, равную квадрату прямой, выходящей из центра. Также она ограничит вместе с прямой, находящейся между ординатой и касательной, площадь, относящуюся к квадрату ординаты, как поперечная сторона к прямой стороне.

Пусть диаметр гиперболы, эллипса или окружности круга—AB.

Проведем касательную CD и ординату CE, пусть G—центр. Я утверждаю, что [прямоугольник] ,,под DGE“ равен [квадрату] ,,над GB“

и что поперечная сторона относится к прямой стороне как [прямоугольник] ,,под DEG“ к [квадрату] ,,над EC“> (рис. 59) [25, т. 1, с. 296—298].

Первое утверждение этого предложения, относящееся к окруж-

ности, равносильно формуле (10.4). В случае окружности a=b=p,

и поэтому 2a/2p=1. Отсюда следует, что второе утверждение это-

го предложения, относящееся к окружности, равносильно равенству

DEEG=EC2, т. е.

(DG−EG)EG=EC2=AEEB=(r+EG)(r−EG)=r2−EG2,

что равносильно равенству DGEG=r2, т. е. той же формуле (10.4).

В предложении I37 Аполлоний, кроме инверсии относительно

окружности, определил аналогичные преобразования, связанные с эл-

липсом и гиперболой.

Мы рассмотрим эти преобразования в главе 11.

В <Конических сечениях> Аполлоний не описывал свойств инвер-

сии относительно окружности, и, в частности, не упоминал о том, что

при этой инверсии окружности переходят в окружности и сохраняют-

ся углы между линиями.

Аполлонию было известно, что при инверсии относительно окруж-

ности, окружности переходят в окружности, это видно из описа-

ния I книги сочинения Аполлония <Плоские геометрические места>

в VII книге <Математического собрания> Паппа. Папп передавал

утверждение Аполлония следующим образом: <Если из одной или

двух данных точек проведены две прямые линии, параллельные или

содержащие данный угол, находящиеся в данном отношении или со-

держащие данную площадь, и конец одной из этих прямых описывает

данное по положению плоское геометрическое место, то конец другой

прямой также опишет данное по положению плоское геометрическое

место того же или другого рода> [50, с. 498; 51, с. 106—107].

Здесь под <прямыми линиями> имеются в виду прямолинейные отрезки и рассматриваются отрезки OX и OX_ ,

расположенные на одной или на двух пересекающихся прямых, или отрезки OX и O_X_ ,

расположенные на одной или

на двух параллельных или пересекающихся прямых.

В том случае, когда отрезки OX и OX_ расположены на одной прямой и имеют постоянное отношение, переход от точки X к точке X_ является гомотетией (7.4). В том случае, когда эти отрезки имеют постоянное произведение, переход от точки X к точке X_ является инверсией (10.7).

Плоские геометрические места двух родов—это окружности и прямые.

В остальных упоминаемых здесь случаях переход от точки X к точке X_ является комбинацией гомотетии или инверсии с параллельным переносом на отрезок OO_ или с поворотом на угол между прямыми OX и OX_ или O_X_ . Комбинации гомотетии с движениями плоскости являются произвольными подобиями, комбинации инверсии относительно

окружности с движением плоскости являются произвольными круговыми преобразованиями плоскости.

Мы не имеем сведений, знал ли Аполлоний о том, что при инверсии относительно окружности сохраняются углы между линиями.

Большое сходство свойств стереографической проекции и инверсии относительно окружности объясняется тем, что стереографическую

проекцию можно получить с помощью инверсии относительно сферы,

определяемой аналогично инверсии относительно окружности. В самом деле, рассмотрим сферу с центром O и находящуюся внутри нее

другую сферу, касающуюся ее и проходящую через точку O (рис. 60).

Тогда инверсия относительно большой сферы определит стереографическую проекцию малой сферы на плоскость, касающуюся обеих сфер в их точке касания.