Фокусы и директрисы
В <Конических сечениях> Аполлония директрисы конических
сечений не упоминаются, хотя из формул (9.2) и (9.3) следует, что фокальные радиус-векторы точек эллипса могут быть записаны в виде
GE=e
_a
e
−x0
_
, HE=e
_a
e
+x0
_
. (9.6)
а из формул (9.4) и (9.5)—что фокальные радиус-векторы точек
гиперболы могут быть записаны в виде
GE=e
_
x0+a
e
_
, HE=e
_
x0
−a
e
_
. (9.7)
Так как разность a/e−x0 равна расстоянию DE от точки E эллип-
са до прямой x=a/e, а сумма a/e+x0 равна расстоянию FE от точки E
эллипса до прямой x=−a/e (рис. 55, а), равенства (9.6) можно пере-
писать в виде
GE=eDE, HE=eFE. (9.8)
Так как сумма x0+a/e равна расстоянию DE от точки E гипер-
болы до прямой x=−a/e, а разность x0
−a/e равна расстоянию FE
от точки E гиперболы до прямой x=a/e (рис. 55, б), равенства (9.7)
также можно переписать в виде (9.8).
Прямые x=−a/e и x=a/e являются директрисами эллипса и ги-
перболы. Равенства (9.8) выражают те же свойства эллипса и гипер-
болы, о которых писал Папп в комментариях к сочинению Евклида
<Геометрические места на поверхностях>.
Аналогичное свойство параболы—равенство фокальных радиус-
векторов ее точек расстояниям этих точек от директрисы—в <Ко-
нических сечениях> не упоминается. По-видимому, Папп написал
эти комментарии на основе предложения III50 <Конических сечений>
и теоремы о равенстве фокальных радиус-векторов точек параболы
расстояниям от этих точек до директрисы. В случае окружности фо-
кусы совпадают с ее центром, а директрисы—с бесконечно удаленной прямой. Во всех случаях директрисы конических сечений являются полярами их фокусов.
Заметим, что Жерминаль Пьер Данделен (1794—1847) доказал, что
фокусы и директрисы конических сечений можно получить следующим
образом. Если коническое сечение высекается плоскостью из поверх-
ности прямого кругового конуса, Данделен вписывал в коническую
поверхность сферы, которые касаются этой поверхности по окружно-
сти, а плоскости конического сечения касаются в одной точке. Тогда
точки касания сфер Данделена с плоскостью являются фокусами ко-
нического сечения, а плоскости окружностей касания сфер Данделена
с конической поверхностью высекают из плоскости конического сече-
ния директрисы этого сечения. На рис. 56, а—в изображены сферы
Данделена для эллипса, гиперболы и параболы.