Фокус параболы
В <Конических сечениях> Аполлоний не рас-
сматривал фокусов парабол. Фокусом параболы
(5.4) в прямоугольной системе координат, ось аб-
сцисс которой—ось параболы, является точка G
с абсциссой x=p/2.
Для этой точки выполняется теорема, ана-
логичная предложению III45 для эллипсов и гипербол. Рассмотрим
параболу с вершиной A и осью AB. Проведем касательную AC к па-
раболе в ее вершине и отметим на оси параболы фокус G (рис. 53).
В произвольной точке E параболы проведем касательную CED к ней,
а из точки G проведем прямую GH, параллельную этой касательной,
и соединим точки G и C. Тогда угол HGC —прямой.
В самом деле, касательная к параболе (5.4) в ее точке E с ко-
ординатами x0, y0 определяется уравнением (8.20). Поэтому угловые
коэффициенты прямых CED и GH равны p/y0, а ордината точ-
ки C равна px0/y0. Направим ортогональные единичные векторы
−→i
и
−→j по оси AB и по прямой AC. Тогда вектор
−→
a, направленный
по прямой GH, равен
−→i + p
y0
−→j , а вектор
−→b , направленный по пря-
мой GC, равен −p
2
−→i +
px0
y0
−→j . Скалярное произведение этих векторов
равно
−→
a ・−→b =−p/2+px0/y20
.
Так как точка E—точка параболы (5.4), то y20
=2px0, откуда сле-
дует, что
−→
a ・−→b =0, т. е. угол CGH —прямой.