Фокус параболы

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

В <Конических сечениях> Аполлоний не рас-

сматривал фокусов парабол. Фокусом параболы

(5.4) в прямоугольной системе координат, ось аб-

сцисс которой—ось параболы, является точка G

с абсциссой x=p/2.

Для этой точки выполняется теорема, ана-

логичная предложению III45 для эллипсов и гипербол. Рассмотрим

параболу с вершиной A и осью AB. Проведем касательную AC к па-

раболе в ее вершине и отметим на оси параболы фокус G (рис. 53).

В произвольной точке E параболы проведем касательную CED к ней,

а из точки G проведем прямую GH, параллельную этой касательной,

и соединим точки G и C. Тогда угол HGC —прямой.

В самом деле, касательная к параболе (5.4) в ее точке E с ко-

ординатами x0, y0 определяется уравнением (8.20). Поэтому угловые

коэффициенты прямых CED и GH равны p/y0, а ордината точ-

ки C равна px0/y0. Направим ортогональные единичные векторы

−→i

и

−→j по оси AB и по прямой AC. Тогда вектор

−→

a, направленный

по прямой GH, равен

−→i + p

y0

−→j , а вектор

−→b , направленный по пря-

мой GC, равен −p

2

−→i +

px0

y0

−→j . Скалярное произведение этих векторов

равно

−→

a −→b =−p/2+px0/y20

.

Так как точка E—точка параболы (5.4), то y20

=2px0, откуда сле-

дует, что

−→

a −→b =0, т. е. угол CGH —прямой.