Фокальные радиус-векторы
Отрезки GE и HE, соединяющие фокусы эллипса и гиперболы
с точками E этих конических сечений, в современной геометрии на-
зываются фокальными радиус-векторами точек E.
В предложении III50 Аполлоний доказывает, что если провести
из центра O эллипса или гиперболы прямые OL и OM, параллельные
фокальным радиус-векторам точек E, до касательных в этих точ-
ках, то прямые OL и OM будут равны полуоси a эллипса или ги-
перболы.
Если мы продолжим оси эллипса или гиперболы и касательные
в их точках E до их пересечения в точках K (рис. 51, а—г), мы
получим подобные треугольники KGE, KOL и KHE, KOM.
В случае эллипса (6.16) касательная в точке E с координатами
x0, y0 определяется уравнением (8.21), поэтому абсцисса x точки K
равна a2/x0.
Расстояние OG равно ae, где e—эксцентриситет эллипса. Поэто-
му KG=a2/x0
−ae. Из подобия треугольников KGE и KOL следует, что
GE=OL・KG
OK
=
a
_
a2
x0
−ae
_
a2
x0
=a−ex0. (9.2)
Аналогично находим, что в случае эллипса
HE=a+ex0. (9.3)
В случае гиперболы (6.18) касательная в ее точке E с координата-
ми x0, y0 определяется уравнением (8.22), поэтому абсцисса x точки K
равна a2/x0.
Расстояние OG равно ae, где e—эксцентриситет гиперболы. Поэто-
му KG=ae+a2/x0. Из подобия треугольников KGE и KOL следует, что
GE=OL・KG
OK
=
a
_
a2
x0
+ae
_
a2
x0
=ex0+a. (9.4)
Аналогично находим, что в случае гиперболы
HE=ex0
−a. (9.5)
Предложение III50 равносильно тому, что фокальные радиус-век-
торы точек эллипса имеют вид (9.2) и (9.3), а фокальные радиус-
векторы точек гиперболы имеют вид (9.4) и (9.5).
На основании этой теоремы в предложении III51 Аполлоний до-
казывает, что разность фокальных радиус-векторов точек гиперболы
и противоположной гиперболы постоянна и равна вещественной оси
гиперболы (рис. 52, а), а в предложении III52 доказывает, что сумма
фокальных радиус-векторов точек эллипса постоянна и равна большой
оси эллипса (рис. 52, б). Утверждение предложения III51 вытекает
из формул (9.4) и (9.5), а утверждение предложения III52—из фор-
мул (9.2) и (9.3).
Последнее утверждение лежит в основе <способа садовника> созда-
ния клумб, имеющих форму эллипса, состоящего в том, что в фокусы
эллипса вбиваются два кола, к ним привязывается веревка, имеющая
длину большой оси эллипса, веревка натягивается палкой с острым
концом, которым на земле вычерчивается заданный эллипс.