Фокусы эллипса и гиперболы
Аполлоний определил фокусы эллипса и гиперболы в предложе-
нии III45: <Если в гиперболе, эллипсе, окружности круга и в проти-
воположных гиперболах в концах оси проведены прямые линии под
прямыми углами [к оси] и если к этим концам с обеих сторон оси
в случае гиперболы прибавлены [к оси], а в случае эллипса отняты
[от оси] такие линии, что прямоугольник под линиями от их концов
до концов оси равен четверти эйдоса, и если провести прямую, ка-
сательную к сечению, пересекающую перпендикулярные прямые, то
прямые, проведенные из точек пересечения к ,,точкам выхода прило-
жений“, образуют прямые углы в этих точках.
Пусть ось одного из сечений, о котором мы говорили,—AB,
пусть AC и BD—перпендикулярные прямые, а прямая CED—ка-
сательная. Построим с каждой стороны способом, о котором мы
говорили, [прямоугольники] ,,под AGB“ и ,,под AHB“, равные четвер-
ти эйдоса, и соединим CG, CH, DG, DH. Я утверждаю, что углы CGD
и CHD—прямые> (рис. 48, а, б) [25, т. 2, с. 240—242].
В предложении III45 рассматривается не произвольный диаметр,
а ось эллипса или гиперболы, а под эйдосом имеется в виду эйдос,
соответствующий этой оси, т. е. прямоугольник, сторонами которого
являются большая ось эллипса или вещественная ось гиперболы, равные 2a, и прямая сторона этих сечений, рваная 2p=2b2/a, где b—
малая ось эллипса или мнимая ось гиперболы, поэтому площадь чет-
верти этого эйдоса равна b2. Аполлоний определяет точки G и H оси
эллипса или гиперболы таким образом, чтобы выполнялись равенства
AG・GB=AH・HB=b2. (9.1)
Аполлоний определяет точки G и H с помощью прямоугольников
<под AGB> и <под AHB>, поэтому он называет эти точки <точками
выхода приложений> (ta ek tes paraboles genethepta semeia).
В современной геометрии эти точки называются фокусами эллипса
и гиперболы.
В главе 5 мы определили эксцентриситет e конического сечения,
входящий в общее уравнение конического сечения (5.12). Для эллипса
e2=(a2−b2)/a2, для гиперболы e2=(a2+b2)/a2, где a и b—полуоси
эллипса и гиперболы.
Докажем, что в случае эллипса и гиперболы, определяемых урав-
нениями (6.16) и (6.18) в прямоугольных координатах, абсциссы
фокусов равны ae и −ae. Для этого обозначим абсциссы фокусов ak
и −ak. В случае эллипса AG=HB=a−ak, AH=GB=a+ak. Поэтому
в силу равенств (9.1)
AG・GB=AH・HB=(a−ak)(a+ak)=a2−a2k2=b2,
откуда находим k2=(a2−b2)/a2=e2.
В случае гиперболы AG=HB=ak−a, AH=GB=ak+a. Поэтому
AG・GB=AH・HB=(ak−a)(ak+a)=a2k2−a2=b2,
откуда находим k2=(a2+b2)/a2=e2.
Доказательство предложения III45 вытекает из предложения III42,
в силу которого AC・BD=b2. Из этого равенства и из равенства (9.1)
вытекают равенства AG・GB=AC・BD и AH・HB=AC・BD. Первое из этих
равенств определяет подобие треугольников ACG и BDG, второе из этих
равенств определяет подобие треугольников ACH и BDH. Так как все
эти четыре треугольника—прямоугольные, сумма углов AGC и BGD
равна прямому углу, так же, как сумма углов AHC и BHD, откуда
вытекает, что оба угла CGD и CHD при любом положении точки E
эллипса или гиперболы—прямые.