Фокусы эллипса и гиперболы

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Аполлоний определил фокусы эллипса и гиперболы в предложе-

нии III45: <Если в гиперболе, эллипсе, окружности круга и в проти-

воположных гиперболах в концах оси проведены прямые линии под

прямыми углами [к оси] и если к этим концам с обеих сторон оси

в случае гиперболы прибавлены [к оси], а в случае эллипса отняты

[от оси] такие линии, что прямоугольник под линиями от их концов

до концов оси равен четверти эйдоса, и если провести прямую, ка-

сательную к сечению, пересекающую перпендикулярные прямые, то

прямые, проведенные из точек пересечения к ,,точкам выхода прило-

жений“, образуют прямые углы в этих точках.

Пусть ось одного из сечений, о котором мы говорили,—AB,

пусть AC и BD—перпендикулярные прямые, а прямая CED—ка-

сательная. Построим с каждой стороны способом, о котором мы

говорили, [прямоугольники] ,,под AGB“ и ,,под AHB“, равные четвер-

ти эйдоса, и соединим CG, CH, DG, DH. Я утверждаю, что углы CGD

и CHD—прямые> (рис. 48, а, б) [25, т. 2, с. 240—242].

В предложении III45 рассматривается не произвольный диаметр,

а ось эллипса или гиперболы, а под эйдосом имеется в виду эйдос,

соответствующий этой оси, т. е. прямоугольник, сторонами которого

являются большая ось эллипса или вещественная ось гиперболы, равные 2a, и прямая сторона этих сечений, рваная 2p=2b2/a, где b—

малая ось эллипса или мнимая ось гиперболы, поэтому площадь чет-

верти этого эйдоса равна b2. Аполлоний определяет точки G и H оси

эллипса или гиперболы таким образом, чтобы выполнялись равенства

AGGB=AHHB=b2. (9.1)

Аполлоний определяет точки G и H с помощью прямоугольников

<под AGB> и <под AHB>, поэтому он называет эти точки <точками

выхода приложений> (ta ek tes paraboles genethepta semeia).

В современной геометрии эти точки называются фокусами эллипса

и гиперболы.

В главе 5 мы определили эксцентриситет e конического сечения,

входящий в общее уравнение конического сечения (5.12). Для эллипса

e2=(a2−b2)/a2, для гиперболы e2=(a2+b2)/a2, где a и b—полуоси

эллипса и гиперболы.

Докажем, что в случае эллипса и гиперболы, определяемых урав-

нениями (6.16) и (6.18) в прямоугольных координатах, абсциссы

фокусов равны ae и −ae. Для этого обозначим абсциссы фокусов ak

и −ak. В случае эллипса AG=HB=a−ak, AH=GB=a+ak. Поэтому

в силу равенств (9.1)

AGGB=AHHB=(a−ak)(a+ak)=a2−a2k2=b2,

откуда находим k2=(a2−b2)/a2=e2.

В случае гиперболы AG=HB=ak−a, AH=GB=ak+a. Поэтому

AGGB=AHHB=(ak−a)(ak+a)=a2k2−a2=b2,

откуда находим k2=(a2+b2)/a2=e2.

Доказательство предложения III45 вытекает из предложения III42,

в силу которого ACBD=b2. Из этого равенства и из равенства (9.1)

вытекают равенства AGGB=ACBD и AHHB=ACBD. Первое из этих

равенств определяет подобие треугольников ACG и BDG, второе из этих

равенств определяет подобие треугольников ACH и BDH. Так как все

эти четыре треугольника—прямоугольные, сумма углов AGC и BGD

равна прямому углу, так же, как сумма углов AHC и BHD, откуда

вытекает, что оба угла CGD и CHD при любом положении точки E

эллипса или гиперболы—прямые.