Предложения III53—III56 являются частными случаями теоремы

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Якоба Штейнера (1796—1863), согласно которой всякое коническое

сечение является геометрическим местом точек пересечения отвечаю-

щих друг другу прямых двух пучков, связанных проективным соот-

ветствием.

Теорема Штейнера позволяет построить коническое сечение по пя-

ти точкам. Если даны точки A, B, C, D, E конического сечения, то

по этим точкам определяются пучки, содержащие прямые AC, AD,

AE и BC, BD, BE. Из точки A проводится произвольная прямая AX,

а из точки B—такая прямая BY, что двойное отношение W(BC, BD;

BE, BY) будет равно двойному отношению W(AB, AC; AD, AX). Тем

самым между этими пучками будет установлено проективное соответ-

ствие. Если прямые AX и BY пересекаются в точке F, то точка F будет

точкой конического сечения ABCDE, и таким образом можно полу-

чить любую точку этого конического сечения. Аполлоний вплотную

подошел к этому построению, но не привел его, так как рассматри-

вал двойные отношения только для случаев гармонических четверок.

На проективной плоскости имеет место принцип двойственности,

согласно которому всякой теореме соответствует двойственная теорема,

получаемая из нее заменой слова <точка> на слово <прямая> и обратно,

а также заменой выражения <точка лежит на прямой> на выраже-

ние <прямая проходит через точку> и обратно. Теореме Штейнера

по принципу двойственности проективной плоскости соответствует тео-

рема о том, что касательные к любому коническому сечению являются

прямыми, соединяющими отвечающие друг другу точки двух прямых,

связанных проективным соответствием.

Частными случаями этой теоремы являются предложения III41—

III43 <Конических сечений> Аполлония.