Предложения III53—III56 являются частными случаями теоремы
Якоба Штейнера (1796—1863), согласно которой всякое коническое
сечение является геометрическим местом точек пересечения отвечаю-
щих друг другу прямых двух пучков, связанных проективным соот-
ветствием.
Теорема Штейнера позволяет построить коническое сечение по пя-
ти точкам. Если даны точки A, B, C, D, E конического сечения, то
по этим точкам определяются пучки, содержащие прямые AC, AD,
AE и BC, BD, BE. Из точки A проводится произвольная прямая AX,
а из точки B—такая прямая BY, что двойное отношение W(BC, BD;
BE, BY) будет равно двойному отношению W(AB, AC; AD, AX). Тем
самым между этими пучками будет установлено проективное соответ-
ствие. Если прямые AX и BY пересекаются в точке F, то точка F будет
точкой конического сечения ABCDE, и таким образом можно полу-
чить любую точку этого конического сечения. Аполлоний вплотную
подошел к этому построению, но не привел его, так как рассматри-
вал двойные отношения только для случаев гармонических четверок.
На проективной плоскости имеет место принцип двойственности,
согласно которому всякой теореме соответствует двойственная теорема,
получаемая из нее заменой слова <точка> на слово <прямая> и обратно,
а также заменой выражения <точка лежит на прямой> на выраже-
ние <прямая проходит через точку> и обратно. Теореме Штейнера
по принципу двойственности проективной плоскости соответствует тео-
рема о том, что касательные к любому коническому сечению являются
прямыми, соединяющими отвечающие друг другу точки двух прямых,
связанных проективным соответствием.
Частными случаями этой теоремы являются предложения III41—
III43 <Конических сечений> Аполлония.