Теоремы Аполлония о полюсах и полярах

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Предложения III30—III40 и IV1—IV23 <Конических сечений> Апол-

лония являются теоремами о свойствах полюсов и поляр конических

сечений. Основным из предложений III книги о полюсах и полярах является предложение III37, которое Аполлоний формулирует следующим образом. <Если две прямые, касательные к коническому сечению, к окружности круга или к противоположным гиперболам, встречаются, если проведена прямая, соединяющая точки их касания, и если из точки встречи касательных проведена прямая, пересекающая линию в двух точках,— отрезки, которые определяются прямой, соединяющей точки касания, [на отрезке секущей между точками ее пересечения с линией] относятся друг к другу как вся линия к ее отрезку во внешней области.

Пусть коническое сечение—AB, касательные—AC и CB. Соеди-

ним AB и проведем [секущую прямую] CDEG (рис. 37). Я утверждаю,

что GE относится к ED как CG к CD> [25, т. 2, с. 220].

В этом предложении из внешней точки C проведены касатель-

ные AC и CB к коническому сечению и прямая CG, пересекающая

сечение в точках D и G и прямую AB в точке E. Утверждается, что

отношение GE/ED=CG/CD, т. е. что пары точек C, E и D, G гармо-

нически разделяют друг друга. Это означает, что ноль-пара, состоящая

из прямой AB и точки C, определяет проективную симметрию, пере-

водящую коническое сечение в себя. Поэтому на языке современной

геометрии точка C является полюсом прямой AB, а прямая AB—по-

лярой точки C.

Частный случай этого предложения, когда секущая прямая являет-

ся диаметром конического сечения, рассматривался в предложении I37.

Из того, что касательные в концах диаметров эллипсов и пар про-

тивоположных гипербол параллельны, следует, что полюсы диаметров

этих конических сечений являются бесконечно удаленными точками.

Из того, что параболы касаются бесконечно удаленной прямой, сле-

дует, что все касательные к параболам пересекаются с этой прямой

в бесконечно удаленных точках, откуда вытекает, что полюсы диаме-

тров парабол также являются бесконечно удаленными точками.

В предложении III30 рассматривается гипербола ABC с каса-

тельными AD и CD, из точки D проводится прямая линия DKL,

параллельная одной из асимптот гиперболы, пересекающая гипербо-

лу в точке K и прямую AC —в точке L. Аполлоний доказывает, что

DK=KL.

Поскольку асимптоты гиперболы касаются ее в бесконечно уда-

ленных точках, прямая DKL пересекает гиперболу в одной из ее

бесконечно удаленных точек. В этом случае точка D—полюс прямой

AC и пара точек D, L гармонически разделяет пару точек, состоящую

из точки K и бесконечно удаленной точки прямой DKL, откуда выте-

кает равенство DK=KL.

Предложение III31 является аналогом предложения III30 для пары

противоположных гипербол.

В предложении III32 рассматривается гипербола ABC с центром D

и асимптотой DE, проводятся касательные AF и CF и диаметр DF, пе-

ресекающий гиперболу в точке B и прямую AC в точке H. Из точки F

проводится прямая линия FK, параллельная прямой AC и касатель-

ной BE к гиперболе. Из точки H проводится прямая линия HLK,

параллельная асимптоте DE, пересекающая гиперболу в точке L. Апол-

лоний доказывает равенство HL=LK.

В этом предложении точка F —полюс прямой AC. В том случае,

когда полюс движется по прямой, его поляра вращается вокруг неко-

торой точки, являющейся полюсом этой прямой. Аполлоний не форму-

лирует это утверждение в общем виде, но доказывает, что если точка F

движется по прямой FK, поляра этой точки проходит через точку H,

которая является полюсом FK. Наиболее просто это можно дока-

зать следующим образом. Если координаты точки F равны x0, y0,

то уравнение (8.22) поляры точки F при y0=0 имеет вид x=a2/x0,

этому же числу равна абсцисса точки H. Когда точка F движется

по прямой FK, т. е. ордината y0 не равна 0, координаты точки H удо-

влетворяют уравнению (8.22) поляры точки F.

Асимптота DE касается гиперболы в одной из ее бесконечно уда-

ленных точек, и параллельная ей прямая HLK пересекает гиперболу

в этой бесконечно удаленной точке. Поэтому пара точек H и K гар-

монически разделяет точку L и бесконечно удаленную точку прямой

HLK, откуда вытекает равенство HL=LK. Точка F —внешняя точка

гиперболы, откуда следует, что полюс H прямой FK —внутренняя точ-

ка гиперболы.

Предложение III33 —аналог предложения III32 для противополож-

ных гипербол.

В предложении III34 рассматривается гипербола AB с центром D

и асимптотами CD и DE. Из точки C асимптоты CD проводится

касательная CBE к гиперболе, через точку B проводится прямая линия

FBG, параллельная асимптоте CD, из точки C проводится прямая

CAG, параллельная асимптоте DE. Аполлоний доказывает равенство

CA=AG.

Точка C является полюсом прямой FBG, соединяющей точку B ги-

перболы с бесконечно удаленной точкой асимптоты CD. Так как линия

CAG параллельна асимптоте DE, она пересекает гиперболу в беско-

нечно удаленной точке этой асимптоты. Равенство CA=AG является

следствием того, что точки C и G гармонически разделяют точки пере-

сечения прямой CG с гиперболой, одна из этих точек пересечения—

A, а вторая—бесконечно удаленная точка.

В предложении III35 рассматривается гипербола AB с асимптота-

ми CD и DE. Из точки C проводятся касательная CBE к гиперболе

и прямая CALF, пересекающая гиперболу в точках A и F. Через

точку B проводится прямая BL. Аполлоний доказывает пропорцию

FC/CA=FL/LA. (8.27)

Точка C является полюсом прямой BL, соединяющей точку B

касания с бесконечно удаленной точкой асимптоты CD. Пропорция

(8.27) следует из того, что точки C и L гармонически разделяют

точки A и F гиперболы.

Предложение III36 является аналогом предложения III35 для пары

противоположных гипербол.

В предложении III38 рассматривается коническое сечение AB.

Из точек A и B проводятся касательные AC и CB к коническому сече-

нию. Через точку C проводится диаметр CE, который делит хорду AB

в точке E пополам, и прямая CO, параллельная хорде AB, такая, что

поляра точки O проходит через точку E. Прямая EO пересекает ко-

ническое сечение в точках D и _____F. Аполлоний доказывает пропорцию

FO/OD=FE/ED. (8.28)

Точка E является полюсом прямой CO. Пропорция (8.28) следует

из того, что точки O и E гармонически разделяют точки D и F.

Точка C —внешняя точка конического сечения, откуда следует,

что полюс E прямой CO—внутренняя точка этого сечения. Доказа-

тельство того, что E —полюс прямой CO, аналогично доказательству

предложения III32, что H —полюс прямой FK.

Предложения III39 и III40 являются аналогами предложений III37

и III38 для противоположных гипербол.

В предложениях IV1—IV23 Аполлоний доказывает обратные тео-

ремы для теорем III книги о полюсах и полярах конических сечений.

В предложении IV1 доказывается, что если из точки D проведе-

ны касательная DB к коническому сечению и прямая, пересекающая

это сечение в точках E и C, и если из точки B проведена прямая BG,

пересекающая прямую DEC в такой точке G, что пара точек D и G

гармонически разделяет пару точек C и E, то прямая BG пересечет

коническое сечение в такой точке A, что прямая DA касается кониче-

ского сечения (рис. 38, а).

В предложениях IV2—IV8 доказываются частные случаи предло-

жения IV1 и предельные случаи, в которые переходит это предложение

при удалении некоторых его точек в бесконечность.

В предложении IV9 доказывается, _____что если из точки D проведены

две прямые, пересекающие коническое сечение в точках E, F и в точ-

ках G, H, то прямая KL, соединяющая точки K и L прямых DF и DH,

которые вместе с точкой D гармонически разделяют пары точек E, F и G, H, пересечет коническое сечение в таких точках A и B, что пря-

мые DA и DB касаются конического сечения (рис. 38, б).

В предложениях IV10—IV14 доказываются частные случаи предло-

жения IV9 и предельные случаи, в которые переходит это предложение

при удалении некоторых его точек в бесконечность.

Предложения IV15—IV23 являются аналогами предложений IV1—

IV14 для противоположных гипербол.

Предложения IV1 и IV23 доказываются от противного, так как

предположение, что прямая AB пересекает секущую не в точке, ко-

торая вместе с точкой D гармонически разделяет пару точек пере-

сечения секущей с коническим сечением, противоречит предложени-

ям III30—III40.

Построение касательных к коническому сечению

с помощью проективного соответствия между прямыми

Предложение III41 формулируется следующим образом: <Когда три прямые, касательные к параболе, взаимно пересекаются, они пересекают

друг друга в одном и том же отношении.

Пусть ABC—парабола, и пусть ADE,

EGC, DBG—касательные. Я утверждаю,

что CG относится к GE, как ED к DA

и как GB к BD> (рис. 39) [25, т. 2, с. 230].

Касательная к параболе в точке B

отсекает на прямых EA и EC отрезки

z=ED и z_=EG. Так как точка D де-

лит отрезок EA в том же отношении,

что и точка G отрезок EC, то, если

EC=kEA, отрезки z и z_ связаны соот-

ношением z_=kz, являющимся частным

случаем соотношения (8.14).

Предложение III42 формулируется следующим образом: <Если в гиперболе,

эллипсе, окружности круга или в противоположных гиперболах провести из концов диаметра прямые, параллельные ординатам, и если провести другую прямую, касательную в произвольной точке, эта касательная отсечет на двух первых прямых отрезки, ограничивающие прямоугольник, равный четверти эйдоса, приложенного к тому же диаметру.

Пусть диаметр сечения, о котором мы будем говорить, есть AB. Проведем из точек A, B [прямые] AC, DB, параллельные одной из ординат, и пусть [прямая] CED будет касательной в [точке] E. Я утверждаю, что [прямоугольник] ,,под AC, BD“ равен четверти эйдоса, приложенного к AB> (рис. 40, а, б) [25, т. 2, с. 234].

Уравнение касательной к эллипсу (6.16) в его точке E с коорди-

натами x0, y0 имеет вид (8.21). Уравнения прямых AC и BD имеют

вид x=−a и x=a. Касательная CED пересекает эти прямые в точках

с ординатами

y_=b2

y0

_

1−x0

a

_

, y=b2

y0

_

1+

x0

a

_

.

Поэтому yy_=

_

b2

y0

_2 _

1−

_

x0

a

_2_

.

Так как E—точка эллипса, ее координаты удовлетворяют уравне-

нию (6.16) и yy_=b2

_

b

y0

_2 _

y0

b

_2

=b2.

Величина b2 равна четверти площади эйдоса, равной 2a2p=4b2.

Равенство y_=b2/y является частным случаем соотношения (8.14).

То же рассуждение применимо и к окружности, где a=b и пло-

щадь эйдоса равна a2.

Для гиперболы и противоположных гипербол (6.18) равенство y_=

=b2/y доказывается аналогично.

В предложении III43 доказывается, что касательная к гиперболе

отсекает на ее асимптотах отрезки с общим началом в центре гипербо-

лы, являющиеся сторонами прямоугольника, равного прямоугольнику,

стороны которого отсекаются на асимптотах касательной в верши-

не гиперболы. Если касательная в точке B гиперболы отсекает на ее

асимптотах отрезки z=DG и z_=DH (рис. 41), то в этом предложении

утверждается, что zz_=const.

Предложения III41—III43 являются частными случаями теоремы о том, что прямые, соединяю-

щие соответствующие точки двух прямых линий,

находящихся в проективном соответствии, являют-

ся касательными к коническому сечению.

Задачам, аналогичным предложению III41, по-

священо сочинение Аполлония <Отсечение отно-

шения>, задачам, аналогичным предложениям III42

и III43, посвящено сочинение Аполлония <Отсече-

ние площади>.