Проективные преобразования

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Доказанная Аполлонием возможность получения конических се-

чений всех видов с помощью пересечения одного и того же кругового

конуса различными плоскостями показывает, что конические сечения

всех видов можно получить из одной и той же окружности про-

ецированием из вершины этого конуса. Отсюда следует, что теория

конических сечений Аполлония тесно связана с проективной геометрией.

В предисловии к I книге <Конических сечений> Аполлоний писал,

что III книга этого труда <содержит много прекрасных новых теорем>.

Все эти теоремы относятся к проективной геометрии.

Если проецировать некоторую плоскость E из точки S, не лежащей

на ней, на некоторую другую плоскость E_ , то прямые плоскости E бу-

дут проецироваться на плоскость E_ в виде прямых. Если аналогичным

образом спроецировать плоскость E_ из точки S_ на плоскость E__ , спро-

ецировать плоскость E__ из точки S__ на плоскость E___ и т. д., и после

конечного числа таких проецирований спроецировать плоскость E(n)

из точки S(n) на первоначальную плоскость E, мы получим преобра-

зование плоскости E, при котором прямые переходят в прямые. Такое

преобразование называется проективным преобразованием плоскости.

Это преобразование, однако, не является взаимно однозначным, так

как в том случае, когда проецирующая прямая параллельна плоскости,

на которую происходит проецирование, проецируемая точка исчезает

и не имеет образа, а в том случае, когда проецируемая прямая па-

раллельна проецируемой плоскости, точка на плоскости, на которой

происходит проецирование, не имеет прообраза.

Для того, чтобы сделать проективные преобразования взаимно од-

нозначными, следует добавить к плоскости E и ко всем плоскостям E(k)

новые точки так, чтобы дополненные плоскости находились бы во вза-

имно однозначном соответствии со связками прямых, проходящих

через одну точку пространства. Эти новые точки соответствуют прямым

связки, параллельным дополняемым плоскостям. Если точки плоско-

сти соответствуют прямым связки с центром S, то всякой точке M

плоскости соответствует прямая SM связки. Если прямая SM будет приближаться к прямой связки, параллельной плоскости, точка M бу-

дет удаляться в бесконечность, и новые точки плоскости называются

бесконечно удаленными точками. Так как всем бесконечно удаленным

точкам плоскости соответствуют прямые связки, образующие такой же

пучок, как прямые связки, проецирующие точки некоторой прямой

плоскости, совокупность всех бесконечно удаленных точек плоскости

называется бесконечно удаленной прямой этой плоскости. Плоскость,

расширенная таким образом, называется проективной плоскостью.

На проективной плоскости параллельные прямые пересекаются

в ее бесконечно удаленных точках. При этом прямые, параллельные

одной и той же прямой, пересекаются в одной бесконечно удаленной

точке и образуют пучок параллельных прямых.

Точки проективной плоскости можно представлять векторами, на-

правленными по прямым связки, соответствующим этим точкам, эти

векторы определены с точностью до ненулевого множителя. Эли Картан

(1869—1951) называл эти векторы <аналитическими точками проек-

тивной плоскости>.

Если в пространстве определены три линейно независимых век-

тора −→e 1, −→e 2, −→e 3, то вектор −→x , представляющий точку X проективной

плоскости, может быть записан в виде

−→x =x1−→e 1+x2−→e 2+x3−→e 3. (8.1)

Числа x1, x2, x3 называются проективными координатами точки X.

Эти координаты, как и вектор −→x , определены с точностью до общего

ненулевого множителя.

Если аффинные координаты точки X равны x и y, то проективные

координаты xi этой точки связаны с ними соотношениями

x=x1/x3, y=x2/x3. (8.2)

Проективные преобразования проективной плоскости, как и аф-

финные преобразования, определяются как взаимно однозначные пре-

образования этой плоскости, переводящие прямые в прямые. Но, так

как на проективной плоскости параллельные прямые пересекаются,

проективные преобразования переводят параллельные прямые в пере-

секающиеся.

В проективных координатах проективные преобразования плоско-

сти можно записать в виде

x_i=P

j

Aij

xj, i,j=1, 2, 3. (8.3)

В аффинных координатах проективное преобразование плоскости

имеет вид

x_=Ax+By+C

Gx+Hy+J

, y_=Dx+Ey+F

Gx+Hy+J

. (8.4)

Если аффинные координаты связаны с проективными координата-

ми соотношениями (8.2), коэффициенты формул (8.3) и (8.4) связаны

соотношениями

A=A11

, B=A12

, C=A13

, D=A21

, E=A22

,

F=A23

, G=A31

, H=A32

, J=A33

.

9????????=????????;

(8.5)

Аффинные преобразования (7.2) плоскости можно рассматривать

как проективные преобразования (8.3) при A13

=A23

=0, переводящие

в себя бесконечно удаленную прямую.

Важнейшим частным случаем проективного преобразования явля-

ется гомология, т. е. преобразование, при котором неподвижными

точками являются все точки некоторой прямой, называемые <осью го-

мологии>, и некоторая точка, называемая <центром гомологии>. Ось

гомологии и все прямые, проходящие через ее центр, являются инва-

риантными прямыми гомологии. Если центр гомологии не лежит на ее

оси, гомологию можно привести к виду

x_1=A11

x1, x_2=x2, x_3=x3. (8.6)

Если центр гомологии лежи на ее оси, гомологию можно привести

к виду

x_1=x1+A12

x2, x_2=x2, x_3=x3. (8.7)

Центр гомологии (8.6)—точка E1, ось—E2E3. Центр гомологии

(8.7)—точка E2, ось—прямая E2E3.

Сжатие и растяжение (7.3) являются частными случаями гомоло-

гии (8.6) с бесконечно удаленным центром. Гомотетия (7.4) является

частным случаем гомологии (8.6) с бесконечно удаленной осью.

Параллельный перенос (7.5) является частным случаем гомологии

(8.7) с бесконечно удаленной осью. Сдвиг (7.6) является частным

случаем гомологии (8.7) с бесконечно удаленным центром.

Некоторые теоремы проективной геометрии были доказаны в <По-

ризмах> Евклида и в комментариях Паппа к этому сочинению.

Ибрахим ибн Синан в трактате о построении конических сечений

рассматривал проективное преобразование

x_=a2/x, y_=ay/x,

переводящее окружность x2+y2=a2 в равностороннюю гиперболу.

Абу-р-Райхан ал-Бируни (973—1048) рассматривал более слож-

ные проективные преобразования при описании <совершенной астро-

лябии>, в которой небесная сфера проецируется на плоскость не из по-

люса сферы, а из произвольной точки прямой, проходящей через оба

ее полюса.

Проективные преобразования рассматривал также И. Ньютон

в своем главной труде о классической механике <Математические начала натуральной философии в связи с изложением необходимых сведений о конических сечениях. Ньютон называл фигуры, одна из которых получена из другой проективным преобразованием, <фигурами одного и того же рода>.

Современная проективная геометрия была основана Жираром Дезаргом (1591—1661) и Жаном Виктором Понселе (1788—1867).

Более подробно с проективной геометрией читатель может познакомиться в книге [16, с. 336—408]. Об истории проективной геометрии см. [18, с. 111—116, 128—138, 143—146].

Двойные отношения четверок точек При проективных преобразованиях плоскости сохраняется ин

вариант четырех точек одной прямой, называемыйдвойнымотношением этих точек. Этот инвариант можно определить следующимобразом: если четыре точки M, N, P и Q

представляются векторами −→m, −→n, −→p

и −→q, то векторы −→p и −→q являются ли-

нейными комбинациями векторов

−→m и −→n: −→p =K−→m+L−→n и −→q =R−→m +

+S−→n. Тогда двойное отношение

четырех точек M, N, P и Q равно

W(M, N; P, Q)= S

R

: L

K

. (8.8)

Двойное отношение (8.8) не изменяется при умножении векторов

−→m, −→n, −→p , −→q на произвольные ненулевые множители. Поэтому за эти

векторы можно принять, соответственно, векторы

−−→

SM,

−−→

SN,

−→

SP,

−→

SQ

(рис. 34).

Отсюда видно, что K=PN/MN, L=MP/NM, R=QN/MN, S=

=MQ/NM. Поэтому

W(M, N; P, Q)=MQ

QN

:MP

PN

. (8.9)

82

Если мы построим на парах точек M, N и P, Q окружности,

для которых MN и PQ являются диаметрами, то в случае, когда па-

ры точек разделяют друг друга, окружности пересекаются (рис. 35, a),

а в случае, когда пары точек не разделяют друг друга, окружности

не пересекаются (рис. 35, б, в). Нетрудно проверить, что двойное отно-

шение (8.9) связано с углом φ между соответственными окружностями

соотношением

W(M, N; P, Q)=− tg2 φ

 

. (8.10)

В случае, когда окружности не пересекаются, угол φ чисто мним

и равен φ=iψ, а его тангенс равен tg φ=i th ψ, и формула (8.10)

принимает вид

W(M, N; P, Q)=th2 ψ

2

. (8.11)

Формулы (8.10) и (8.11) показывают, что двойное отношение

четырех точек отрицательно в случае разделяющих друг друга пар

точек и положительно в случае пар точек, не разделяющих друг друга.

Двойные отношения были определены М. Шалем при изучении

сообщений Паппа о <Поризмах> Евклида.