Аффинные преобразования конических сечений
Аналогично предложению VI12 можно доказать, что две гиперболы
с неподобными эйдосами и два эллипса с неподобными эйдосами
переводятся друг в друга аффинным преобразованием.
Если две гиперболы или два эллипса с неподобными эйдосами
не обладают общими осями, их можно перевести в это положение
движением плоскости.
Если оси двух гипербол или двух эллипсов совпадают, то гипер-
болы определяются уравнениями x2/a2−y2/b2=1 и x_2/a_2−y_2/b_2=1,
а эллипсы—уравнениями x2/a2+y2/b2=1 и x_2/a_2+y_2/b_2=1 в си-
стемах прямоугольных координат с началами в центрах конических
сечений и с осями Ox и Oy, направленными по осям этих сечений.
Если мы обозначим a_/a=A и b_/b=E, то первую гиперболу мож-
но перевести во вторую и первый эллипс—во второй аффинным
преобразованием
x_=Ax, y_=Ey. (7.18)
Произведение движения и аффинного преобразования (7.18)
является аффинным преобразование общего вида. Мы уже упомина-
ли, что окружности кругов можно перевести в эллипсы аффинными
преобразованиями. Так как подобия являются частными случаями
аффинных преобразований, то аффинными преобразованиями можно
перевести друг в друга все гиперболы и все эллипсы, причем окруж-
ности кругов следует считать частными случаями эллипсов.
Расположение конических сечений
на поверхности прямого кругового конуса
В предложениях VI28—VI33 Аполлоний показывает, как поместить
на данном прямом круговом конусе коническое сечение, подобное
данному коническому сечению.
В предложении VI28 эта задача решается для параболы. Эта па-
рабола высекается на поверхности конуса плоскостью, параллельной
одной из его прямолинейных образующих.
В предложениях VI29—VI30 эти задачи решаются для гиперболы
и эллипса. Если угол между осью конуса и его прямолинейной обра-
зующей равен α, а эксцентриситет гиперболы или эллипса равен e,
конические сечения высекаются из поверхности конуса плоскостью,
угол β которой с плоскостью основания конуса связан с величинами α
и e соотношениями (6.26).
В предложениях VI31—VI33 Аполлоний строит прямые круговые
конусы, содержащие параболу, гиперболу и эллипс, подобные дан-
ным коническим сечениям. Эти предложения являются обратными для
предложений VI28—VI30.
Сравнение диаметров конических сечений с их осями
В предложениях VII12, VII13 и VII31 доказываются теоремы
о сопряженных диаметрах эллипсов и гипербол. К сопряженным
диаметрам этих конических сечений относятся также предложения
VII25—VII28. Аполлоний формулирует основные утверждения этих
предложений следующим образом.
<В каждой гиперболе линия, равная сумме двух ее осей, меньше
линии, равной сумме двух любых других сопряженных диаметров>
[26, с. 440—441].
<В каждом эллипсе сумма двух его осей меньше суммы двух
любых его сопряженных диаметров> [26, с. 442—443].
<В каждом эллипсе или гиперболе, оси которой неравны, пре-
вышение большей оси над меньшей больше превышения большего
из любых двух сопряженных диаметров над меньшим из них> [26,
с. 444—445].
<В каждой гиперболе или эллипсе прямоугольник, образованный
умножением осей, меньше прямоугольника, образованного умножени-
ем любой пары сопряженных диаметров> [26, с. 444—445].
Несомненно, что в последней формулировке выражения <прямо-
угольник, образованный умножением> принадлежат Сабиту ибн Корре,
так как Аполлоний никогда не применял термин <умножение> к не-
прерывным величинам.
Если мы обозначим оси эллипса и гиперболы 2a и 2b, а сопря-
женные диаметры этих конических сечений 2a_ и 2b_ , утверждения
предложений VII25 и VII26 можно выразить формулой
2a+2b<2a_+2b_ , (7.19)
формулировку предложения VII27 можно выразить формулой
|2a−2b|>|2a_−2b_ |, (7.20)
формулировку предложения VII28 можно выразить формулой
2a・2b<2a_ ・2b_ . (7.21)
Эти предложения основаны на том, что большая ось 2a эллипса
является наибольшим из его диаметров, малая ось 2b эллипса—наи-
меньшим из его диаметров, а ось 2a гиперболы—наименьший из ее
диаметров. Если обозначить диаметры эллипса и гиперболы, отличные
от их осей, через 2a_ и 2b_ , эти соотношения для эллипса и гиперболы
можно записать, соответственно, в виде
2a>2a_ , 2b<2b_ , (7.22)
2a<2a_ , 2b<2b_ . (7.23)
Неравенства (7.22) равносильны неравенствам
2a>2a_ , −2b>−2b_. (7.24)
Неравенство (7.21) для гиперболы и эллипса можно получить,
перемножая левые и правые части неравенств (7.23) и (7.24). Неравен-
ство (7.19) для гиперболы можно получить, складывая левые и правые
части неравенств (7.23). Неравенство (7.20) для эллипса можно полу-
чить, складывая правые и левые части неравенств (7.24). Неравенство
(7.19) для эллипса является следствием неравенства (7.21) и предло-
жения VII12. Неравенство (7.20) для гиперболы является следствием
неравенства (7.21) и предложения VI13.
Аполлоний не указывает, что предложения VII26—VII28 справед-
ливы для гиперболы не только для сопряженных диаметров, но и для
произвольных диаметров, не являющихся осями.