Зависимость прямых сторон конических сечений от диаметров

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

В предложениях VII5 и VII32—VII51 доказываются предложения

о зависимости прямых сторон параболы, эллипса и гиперболы, соот-

ветствующих различным диаметрам этих конических сечений, от этих

диаметров и аналогичные теоремы о зависимости других величин

от диаметров этих конических сечений.

В предложении VII5 рассматривается парабола (5.4) в прямо-

угольных координатах и ее диаметр, пересекающий параболу в точке

с координатами x0, y0. Аполлоний доказывает, что прямая сторона 2p_ ,

соответствующая этому диаметру, связана с прямой стороной 2p, соот-

ветствующей оси параболы, и координатой x0 соотношением

2p_=2p+4x20

. (7.15)

В предложении VII32 находятся некоторые следствия из предло-

жения VII5.

В предложениях VII33—VII36 рассматривается гипербола (6.18)

в прямоугольных координатах и находится зависимость отношения

2p_/2a_ прямой и поперечных сторон этой гиперболы, соответствующих

некоторому ее диаметру, от этого диаметра. Найденная Аполлонием

зависимость отношения 2p_/2a_ от угла φ, определяющего диаметр,

и от отношения 2p/2a прямой и поперечной сторон этой гиперболы,

соответствующих ее оси, может быть выражена формулой

2p_

2a_ =

2p

2a

+th2 φ

1+

2p

2a

th2 φ

. (7.16)

72

Формула (7.16) вытекает из соотношений 2p/2a=b2/a2, 2p_/2a_=

=b_2/a_2 и (7.13), (7.14).

В предложении VII33 рассматривается случай, когда 2a>2p,

в предложении VII34 —p<2a<2p, в предложении VII35 —2a<p.

В предложении VII36 находятся некоторые следствия из этих трех

предложений.

В предложении VII37 рассматривается эллипс (6.16) в прямоуголь-

ных координатах, и находится зависимость отношения 2p_/2a_ прямой

и поперечных сторон этого эллипса, соответствующих некоторому ее

диаметру, от этого диаметра. Найденная Аполлонием зависимость от-

ношения 2p_/2a_ от угла φ, определяющего диаметр, и от отношения

2p/2a прямой и поперечной сторон этого эллипса, соответствующих

его оси, может быть выражена формулой

2p_

2a_ =

2p

2a

+tg2 φ

1+

2p

2a

tg2 φ

. (7.17)

Формула (7.17) вытекает из соотношений 2p/2a=b2/a2, 2p_/2a_=

=b_2/a_2 и (7.11), (7.12).

Конгруэнтность _____конических сечений

В предложениях VI1—VI10 и VI16 доказываются теоремы о равен-

ствах и неравенствах конических сечений и сегментов, ограниченных

дугами этих сечений и хордами, стягивающими эти дуги.

Под <равными> коническими сечениями и их сегментами Аполло-

ний имеет в виду сечения и сегменты, которые могут быть получены

друг из друга движением плоскости. В современной математике такие

фигуры называются конгруэнтными. В предложении VII31 Аполлоний

употреблял слово <равные> не для конгруэнтных, а для равновеликих

параллелограммов, как это делал Евклид для многоугольников с рав-

ными площадями.

В предложении VI1 доказывается, что две параболы равны, если

равны их прямые стороны, соответствующие их осям.

В предложении VI2 доказывается, что две гиперболы или два

эллипса равны, если <равны и подобны> эйдосы этих конических се-

чений. <Равными и подобными> Аполлоний, как и Евклид, называл

конгруэнтные многоугольники. Поэтому условием конгруэнтности двух

гипербол или эллипсов с прямыми сторонами 2p1 и 2p2 и попереч-

ными сторонами 2a1 и 2a2 являются равенства 2a1=2a2 и 2p1=2p2,

равносильные равенствам 2a1=2a2 и 2b1=2b2 осей этих конических

сечений.

В предложении VI3 доказывается, _____что две параболы равны, если

равны их прямые стороны в уравнениях в косоугольных координатах с равными координатными углами, соответствующие осям Ox этих

систем координат.

В предложении VI4 доказывается, что каждая ось эллипса делит

его внутреннюю область на две конгруэнтные части.

В предложении VI5 доказывается, что всякий диаметр эллипса

также делит его внутреннюю область на две конгруэнтные части.

В предложении VI6 доказывается, что если два сегмента двух ко-

нических сечений конгруэнтны, то конгруэнтны и сами эти конические

сечения.

В предложении VI7 Аполлоний доказывает, что оси параболы

и гиперболы делят сегменты этих конических сечений, основания ко-

торых перпендикулярны их осям, на две конгруэнтные части.

В предложении VI8 Аполлоний доказывает, что оси эллипса де-

лят сегменты, основания которых перпендикулярны этим осям, на две

конгруэнтные части и что сегменты эллипса, симметричные относи-

тельно его центра, конгруэнтны.

В предложении VI9 доказывается, что сегменты конгруэнтных

конических сечений, расположенные на равных расстояниях от их

вершин, конгруэнтны, а сегменты этих сечений, расположенные на не-

равных расстояниях от их вершин, не конгруэнтны.

В предложении VI10 Аполлоний доказывает, что в неконгруэнтных

конических сечениях не имеется конгруэнтных сегментов.

В предложении VI16 доказывается, что две противоположные ги-

перболы конгруэнтны.

Подобие конических сечений

В предложениях VI11—VI15 и VI17—VI27 доказываются теоремы

о подобии и неподобии конических сечений.

В предложении VI11 Аполлоний доказывает, что все параболы

подобны между собой.

Если две параболы не обладают общей осью и вершиной, их

можно перевести в это положение движением плоскости. Если оси

и вершины двух парабол совпадают, то они определяются уравнения-

ми y2=2px, y_2=2p_x_ в системе прямоугольных координат с началом

в общей вершине парабол и с осью Ox, направленной по их общей

оси. Тогда, если p_/p=A, первую параболу можно перевести во вторую

гомотетией (7.4).

В предложении VI12 Аполлоний доказывает, что все гипербо-

лы с подобными эйдосами, соответствующими их вещественным осям,

подобны между собой, и все эллипсы с подобными эйдосами, соответ-

ствующими их большим осям, подобны между собой.

Если две гиперболы или два эллипса с подобными эйдосами

не обладают общими осями, их можно перевести в это положение дви-

жением плоскости. Если оси двух гипербол или двух эллипсов совпадают, то гипер-

болы определяются уравнениями x2/a2−y2/b2=1 и x_2/a_2−y_2/b_2=1,

а эллипсы—уравнениями x2/a2+y2/b2=1 и x_2/a_2+y_2/b_2=1 в си-

стемах прямоугольных координат с началами в центрах конических

сечений и с осями Ox и Oy, направленными по осям этих сечений.

Если эйдосы двух конических сечений подобны, то стороны 2a, 2p,

2a_, 2p_ этих прямоугольников пропорциональны и, так как 2p=

=(2b)2/2a, пропорциональны и оси 2a, 2b, 2a_, 2b_ конических сечений.

Поэтому, если эйдосы конических сечений подобны и a_/a=b_/b=

=A, первую гиперболу можно перевести во вторую и первый эллипс

можно перевести во второй гомотетией (7.4). Произведение движения

и гомотетии является подобием общего вида.

Из предложений VI11 и VI12 следует, что все конические сечения

с равными эксцентриситетами, соответствующими осям этих сечений,

подобны между собой.

Если e=1, конические сечения являются параболами, и утвержде-

ние следует из предложения VI11.

Если e=0, конические сечения являются окружностями, и утвер-

ждение следует из того, что все окружности подобны между собой.

Если 0<e<1, конические сечения являются эллипсами, из равен-

ства (5.10) следует пропорция p/a=p_/a_ , утверждение также вытекает

из предложения VI12.

Если e>1, конические сечения являются гиперболами, из равен-

ства (5.11) следует пропорция p/a=p_/a_ , и утверждение также следует

из предложения VI12.

В предложении VI13 доказывается, что все гиперболы с подобными

эйдосами, соответствующие их диаметрам, которые являются осями Ox

систем косоугольных координат с равными координатными углами, по-

добны между собой и что все эллипсы с подобными эйдосами, соответ-

ствующими их диаметрам, которые являются осями Ox систем косо-

угольных координат с равными координатными углами, подобны между

собой. Это предложение доказывается аналогично предложению VI12.

В предложениях VI14 и VI15 доказывается, что параболы не могут

быть подобны гиперболам и эллипсам, а эллипсы—гиперболам.

В предложениях VI17—VI22 находятся условия подобия сегментов

двух конических сечений.

В предложениях VI23—VI25 доказывается, что неподобные кони-

ческие сечения не содержат подобных сегментов.

В предложениях VI26 и VI27 доказывается, что конические се-

чения, высекаемые из поверхности кругового конуса параллельными

плоскостями, подобны. Так как все параболы подобны между собой,

утверждения этих предложений доказываются только для гипербол

и эллипсов.

Для прямого кругового конуса эти предложения вытекают из со-

отношения (6.26).