Зависимость прямых сторон конических сечений от диаметров
В предложениях VII5 и VII32—VII51 доказываются предложения
о зависимости прямых сторон параболы, эллипса и гиперболы, соот-
ветствующих различным диаметрам этих конических сечений, от этих
диаметров и аналогичные теоремы о зависимости других величин
от диаметров этих конических сечений.
В предложении VII5 рассматривается парабола (5.4) в прямо-
угольных координатах и ее диаметр, пересекающий параболу в точке
с координатами x0, y0. Аполлоний доказывает, что прямая сторона 2p_ ,
соответствующая этому диаметру, связана с прямой стороной 2p, соот-
ветствующей оси параболы, и координатой x0 соотношением
2p_=2p+4x20
. (7.15)
В предложении VII32 находятся некоторые следствия из предло-
жения VII5.
В предложениях VII33—VII36 рассматривается гипербола (6.18)
в прямоугольных координатах и находится зависимость отношения
2p_/2a_ прямой и поперечных сторон этой гиперболы, соответствующих
некоторому ее диаметру, от этого диаметра. Найденная Аполлонием
зависимость отношения 2p_/2a_ от угла φ, определяющего диаметр,
и от отношения 2p/2a прямой и поперечной сторон этой гиперболы,
соответствующих ее оси, может быть выражена формулой
2p_
2a_ =
2p
2a
+th2 φ
1+
2p
2a
th2 φ
. (7.16)
72
Формула (7.16) вытекает из соотношений 2p/2a=b2/a2, 2p_/2a_=
=b_2/a_2 и (7.13), (7.14).
В предложении VII33 рассматривается случай, когда 2a>2p,
в предложении VII34 —p<2a<2p, в предложении VII35 —2a<p.
В предложении VII36 находятся некоторые следствия из этих трех
предложений.
В предложении VII37 рассматривается эллипс (6.16) в прямоуголь-
ных координатах, и находится зависимость отношения 2p_/2a_ прямой
и поперечных сторон этого эллипса, соответствующих некоторому ее
диаметру, от этого диаметра. Найденная Аполлонием зависимость от-
ношения 2p_/2a_ от угла φ, определяющего диаметр, и от отношения
2p/2a прямой и поперечной сторон этого эллипса, соответствующих
его оси, может быть выражена формулой
2p_
2a_ =
2p
2a
+tg2 φ
1+
2p
2a
tg2 φ
. (7.17)
Формула (7.17) вытекает из соотношений 2p/2a=b2/a2, 2p_/2a_=
=b_2/a_2 и (7.11), (7.12).
Конгруэнтность _____конических сечений
В предложениях VI1—VI10 и VI16 доказываются теоремы о равен-
ствах и неравенствах конических сечений и сегментов, ограниченных
дугами этих сечений и хордами, стягивающими эти дуги.
Под <равными> коническими сечениями и их сегментами Аполло-
ний имеет в виду сечения и сегменты, которые могут быть получены
друг из друга движением плоскости. В современной математике такие
фигуры называются конгруэнтными. В предложении VII31 Аполлоний
употреблял слово <равные> не для конгруэнтных, а для равновеликих
параллелограммов, как это делал Евклид для многоугольников с рав-
ными площадями.
В предложении VI1 доказывается, что две параболы равны, если
равны их прямые стороны, соответствующие их осям.
В предложении VI2 доказывается, что две гиперболы или два
эллипса равны, если <равны и подобны> эйдосы этих конических се-
чений. <Равными и подобными> Аполлоний, как и Евклид, называл
конгруэнтные многоугольники. Поэтому условием конгруэнтности двух
гипербол или эллипсов с прямыми сторонами 2p1 и 2p2 и попереч-
ными сторонами 2a1 и 2a2 являются равенства 2a1=2a2 и 2p1=2p2,
равносильные равенствам 2a1=2a2 и 2b1=2b2 осей этих конических
сечений.
В предложении VI3 доказывается, _____что две параболы равны, если
равны их прямые стороны в уравнениях в косоугольных координатах с равными координатными углами, соответствующие осям Ox этих
систем координат.
В предложении VI4 доказывается, что каждая ось эллипса делит
его внутреннюю область на две конгруэнтные части.
В предложении VI5 доказывается, что всякий диаметр эллипса
также делит его внутреннюю область на две конгруэнтные части.
В предложении VI6 доказывается, что если два сегмента двух ко-
нических сечений конгруэнтны, то конгруэнтны и сами эти конические
сечения.
В предложении VI7 Аполлоний доказывает, что оси параболы
и гиперболы делят сегменты этих конических сечений, основания ко-
торых перпендикулярны их осям, на две конгруэнтные части.
В предложении VI8 Аполлоний доказывает, что оси эллипса де-
лят сегменты, основания которых перпендикулярны этим осям, на две
конгруэнтные части и что сегменты эллипса, симметричные относи-
тельно его центра, конгруэнтны.
В предложении VI9 доказывается, что сегменты конгруэнтных
конических сечений, расположенные на равных расстояниях от их
вершин, конгруэнтны, а сегменты этих сечений, расположенные на не-
равных расстояниях от их вершин, не конгруэнтны.
В предложении VI10 Аполлоний доказывает, что в неконгруэнтных
конических сечениях не имеется конгруэнтных сегментов.
В предложении VI16 доказывается, что две противоположные ги-
перболы конгруэнтны.
Подобие конических сечений
В предложениях VI11—VI15 и VI17—VI27 доказываются теоремы
о подобии и неподобии конических сечений.
В предложении VI11 Аполлоний доказывает, что все параболы
подобны между собой.
Если две параболы не обладают общей осью и вершиной, их
можно перевести в это положение движением плоскости. Если оси
и вершины двух парабол совпадают, то они определяются уравнения-
ми y2=2px, y_2=2p_x_ в системе прямоугольных координат с началом
в общей вершине парабол и с осью Ox, направленной по их общей
оси. Тогда, если p_/p=A, первую параболу можно перевести во вторую
гомотетией (7.4).
В предложении VI12 Аполлоний доказывает, что все гипербо-
лы с подобными эйдосами, соответствующими их вещественным осям,
подобны между собой, и все эллипсы с подобными эйдосами, соответ-
ствующими их большим осям, подобны между собой.
Если две гиперболы или два эллипса с подобными эйдосами
не обладают общими осями, их можно перевести в это положение дви-
жением плоскости. Если оси двух гипербол или двух эллипсов совпадают, то гипер-
болы определяются уравнениями x2/a2−y2/b2=1 и x_2/a_2−y_2/b_2=1,
а эллипсы—уравнениями x2/a2+y2/b2=1 и x_2/a_2+y_2/b_2=1 в си-
стемах прямоугольных координат с началами в центрах конических
сечений и с осями Ox и Oy, направленными по осям этих сечений.
Если эйдосы двух конических сечений подобны, то стороны 2a, 2p,
2a_, 2p_ этих прямоугольников пропорциональны и, так как 2p=
=(2b)2/2a, пропорциональны и оси 2a, 2b, 2a_, 2b_ конических сечений.
Поэтому, если эйдосы конических сечений подобны и a_/a=b_/b=
=A, первую гиперболу можно перевести во вторую и первый эллипс
можно перевести во второй гомотетией (7.4). Произведение движения
и гомотетии является подобием общего вида.
Из предложений VI11 и VI12 следует, что все конические сечения
с равными эксцентриситетами, соответствующими осям этих сечений,
подобны между собой.
Если e=1, конические сечения являются параболами, и утвержде-
ние следует из предложения VI11.
Если e=0, конические сечения являются окружностями, и утвер-
ждение следует из того, что все окружности подобны между собой.
Если 0<e<1, конические сечения являются эллипсами, из равен-
ства (5.10) следует пропорция p/a=p_/a_ , утверждение также вытекает
из предложения VI12.
Если e>1, конические сечения являются гиперболами, из равен-
ства (5.11) следует пропорция p/a=p_/a_ , и утверждение также следует
из предложения VI12.
В предложении VI13 доказывается, что все гиперболы с подобными
эйдосами, соответствующие их диаметрам, которые являются осями Ox
систем косоугольных координат с равными координатными углами, по-
добны между собой и что все эллипсы с подобными эйдосами, соответ-
ствующими их диаметрам, которые являются осями Ox систем косо-
угольных координат с равными координатными углами, подобны между
собой. Это предложение доказывается аналогично предложению VI12.
В предложениях VI14 и VI15 доказывается, что параболы не могут
быть подобны гиперболам и эллипсам, а эллипсы—гиперболам.
В предложениях VI17—VI22 находятся условия подобия сегментов
двух конических сечений.
В предложениях VI23—VI25 доказывается, что неподобные кони-
ческие сечения не содержат подобных сегментов.
В предложениях VI26 и VI27 доказывается, что конические се-
чения, высекаемые из поверхности кругового конуса параллельными
плоскостями, подобны. Так как все параболы подобны между собой,
утверждения этих предложений доказываются только для гипербол
и эллипсов.
Для прямого кругового конуса эти предложения вытекают из со-
отношения (6.26).