Параболические, эллиптические и гиперболические повороты

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Произведение отражений относительно двух диаметров круга

является поворотом вокруг центра круга на угол, равный удвоенно-

му углу между диаметрами. Поэтому будем называть произведение

отражений относительно двух диаметров параболы параболическим

поворотом, произведение отражений относительно двух диаметров

эллипса—эллиптическим поворотом, а произведение отражений от-

носительно двух диаметров гиперболы—гиперболическим поворотом.

Если косое отражение от прямой AB переводит точку C в точ-

ку D, то треугольники ABC и ABD имеют одно и то же основание

AB и равные высоты, поэтому площади этих треугольников равны.

Отсюда видно, что косые отражения от прямых, как и прямые отра-

жения, являются эквиаффинными преобразованиями. Поэтому пара-

болические, эллиптические и гиперболические повороты, являющиеся

произведениями отражений относительно двух прямых, также являют-

ся эквиаффинными преобразованиями.

Параболический поворот, как и отражения относительно диаме-

тров параболы, переводит в себя параболу. Аналогично, эллиптиче-

ский поворот переводит в себя эллипс, а гиперболический поворот—

гиперболу.

Параболический поворот, переводящий ось y=0 параболы (5.4)

в диаметр y=h той же параболы, имеет вид:

x_=x+h

p

y+h2

2p

, y_=y+h. (7.7)

68

Параболический поворот (7.7) является произведением сдвига

(7.6) при B=h/p и параллельного переноса x_=x+h2/2p, y_=y+h.

Эллиптический поворот, переводящий в себя эллипс (5.5), име-

ет вид:

x_=x cos φ+a

b

y sin φ, y_=−b

a

x sin φ+y cos φ. (7.8)

Гиперболический поворот, переводящий в себя гиперболу (5.6),

имеет вид:

x_=x ch φ+a

b

y sh φ, y_=b

a

x sh φ+y ch φ. (7.9)

Гиперболический поворот

x_=x ch ψ+t sh ψ, t_=x sh ψ+t ch ψ

применяется для геометрической интерпретации перехода от одной

инерциальной системы к другой при движении вдоль прямой в спе-

циальной теории относительности Эйнштейна в плоскости с коорди-

натами x и t. Аргумент ψ связан со скоростью v второй инерци-

альной системы относительно первой и со скоростью c света соотно-

шением

th ψ=v/c.

Если преобразования (7.7), (7.8) и (7.9) записаны в виде (7.2),

определители AE−BD этих преобразований, соответственно, равны

11−h/p0=1, cos2 φ+sin2 φ=1, ch2 φ−sh2 φ=1, и мы снова получа-

ем, что эти преобразования эквиаффинные.

Поскольку аффинные преобразования переводят параллельные

прямые в параллельные прямые и сохраняют простые отношения тро-

ек точек на прямых, преобразования (7.7), (7.8) и (7.9) переводят

диаметры конических сечений в диаметры, а ординаты, проведенные

к диаметрам—в такие же ординаты. Поэтому эллиптические и ги-

перболические повороты оставляют неподвижными центры эллипсов

и гипербол и переводят сопряженные диаметры этих конических сече-

ний в сопряженные диаметры.

Гиперболические повороты, переводящие в себя одну гиперболу,

переводят в себя противоположную гиперболу. Асимптоты гипербол

можно определить как диаметры, которые сопряжены сами с со-

бой, поэтому гиперболические повороты переводят асимптоты гипербол

в себя.

При гиперболическом повороте (7.9) векторы, направленные по од-

ной из асимптот этой гиперболы, умножаются на число ch φ+sh φ=eφ,

а векторы, направленные по другой асмптоте, умножаются на число

ch φ−sh φ=1/eφ.

Сопряженные пары противоположных гипербол

В предложении II17 Аполлоний впервые

рассматривает <сопряженные противополож-

ные гиперболы> (рис. 33). Он не дает их оп-

ределения, но из приводимых свойств ясно, что

противоположные гиперболы, сопряженные

с гиперболами (5.6), определяются уравнением

y2

b2

−x2

a2 =1. (7.10)

В этом предложении Аполлоний доказы-

вает, что поперечные диаметры одной из пар сопряженных гипербол

(5.6) и (7.10) являются восставленными диаметрами другой пары и что

центры и асимптоты гипербол обеих пар совпадают.

Аполлоний доказывает для сопряженных диаметров двух сопря-

женных пар противоположных гипербол ряд теорем, аналогичных

теоремам о сопряженных диаметрах эллипса.

Гиперболический поворот, переводящий в себя пару противопо-

ложных гипербол, переводит в себя также пару противоположных

гипербол, сопряженную с первой парой.

Применение параболических, эллиптических

и гиперболических поворотов

Аполлоний нигде не упоминает параболических, эллиптических

и гиперболических поворотов, однако многие предложения <Кони-

ческих сечений> чрезвычайно легко доказываются с помощью этих

поворотов. Поэтому весьма вероятно, что Аполлоний пользовался таки-

ми поворотами для получения результатов этих предложений, но позже

он находил для этих предложений доказательства с помощью методов,

обычно применявшихся античными математиками.

Наиболее ярким примером такого предложения является упоми-

навшееся нами предложение II3, утверждение которого может быть

получено из определения асимптот гиперболы, данного в предложе-

нии II1, с помощью гиперболического поворота, переводящего в себя

эту гиперболу.

Многие из предложений III1—III15, в которых доказываются те-

оремы о равенстве площадей плоских фигур, могут быть доказаны

с помощью параболических, эллиптических и гиперболических по-

воротов. Например, в предложении III1 рассматривается коническое

сечение AB, проводятся касательные AEC и BED и диаметры AD и BC

и доказывается равенство площадей треугольников ADE и EBC.

Это равенство очевидно в случае, когда треугольники симметричны

относительно оси конического сечения. Для параболы, диаметры AD

и BC которой параллельны, общий случай этого равенства может быть

получен из упомянутого параболическим поворотом. Для гиперболы

и эллипса, диаметры AD и BC которых пересекаются в их центрах,

общий случай может быть получен из упомянутого гиперболическим

или эллиптическим поворотом вокруг центра.

Многие из предложений VII6—VII31, в которых доказываются те-

оремы о сопряженных диаметрах конических сечений, могут быть

доказаны с помощью эллиптических и гиперболических поворотов. От-

метим следующие из этих предложений.

В предложении VII12 доказывается: <Во всяком эллипсе сумма

квадратов любых двух сопряженных диаметров равна сумме квадратов

осей> [26, с. 412—413]. Обозначим большую и малую оси эллипса,

определяемого уравнением (5.5) в прямоугольных координатах, 2a

и 2b, а два сопряженных диаметра этого эллипса—2a_ и 2b_ .

Для доказательства этого утверждения заметим, что эллиптический

поворот (7.8) переводит точку эллипса с координатами x=a, y=0

в точку с координатами x_=a cos φ, y_=−b sin φ. Поэтому

a_2=x_2+y_2=a2 cos2 φ+b2 sin2 φ. (7.11)

То же преобразование переводит точку эллипса с координатами

x=0, y=b в точку с координатами x_=a sin φ, y_=b cos φ. Поэтому

b_2=x_2+y_2=a2 sin2 φ+b2 cos2 φ, (7.12)

откуда получаем равенство

a_2+b_2=a2+b2,

равносильное предложению VII12.

В предложении VII13 доказывается: <Во всякой гиперболе раз-

ность квадратов осей равна разности квадратов любых двух сопряжен-

ных диаметров> [26, с. 414—415]. Обозначим вещественную и мнимую

оси гиперболы, определяемой уравнением (5.6) в прямоугольных ко-

ординатах, 2a и 2b, а сопряженные поперечный и восставленный

диаметры этой гиперболы—2a_ и 2b_ .

Для доказательства этого утверждения заметим, что гиперболиче-

ский поворот (7.9) переводит точку гиперболы с координатами x=a,

y=0 в точку с координатами x_=a ch φ, y_=b sh φ. Поэтому

a_2=x_2+y_2=a2 ch2 φ+b2 sh2 φ. (7.13)

То же преобразование переводит точку сопряженной гиперболы

с координатами x=0, y=b в точку с координатами x_=a sh φ, y_=

=b ch φ. Поэтому

b_2=x_2+y_2=a2 sh2 φ+b2 ch2 φ, (7.14)

71

откуда получаем равенство

a_2−b_2=a2−b2,

равносильное предложению VII13.

В предложении VII31 доказывается: <Если в эллипсе или в паре

сопряженных противоположных гипербол проведены два сопряженных

диаметра, то параллелограмм, ограниченный диаметрами с углами,

равными углам при центре, равен прямоугольнику, ограниченному

осями> [26, с. 450—451]. Здесь под словом <равен> имеется в виду

<обладает равной площадью>.

Это предложение является следствием того, что эллиптический

и гиперболический повороты (7.8) и (7.9) переводят оси эллипса и па-

ры сопряженных гипербол в сопряженные диаметры этих конических

сечений и являются эквиаффинными преобразованиями.