Параболические, эллиптические и гиперболические повороты
Произведение отражений относительно двух диаметров круга
является поворотом вокруг центра круга на угол, равный удвоенно-
му углу между диаметрами. Поэтому будем называть произведение
отражений относительно двух диаметров параболы параболическим
поворотом, произведение отражений относительно двух диаметров
эллипса—эллиптическим поворотом, а произведение отражений от-
носительно двух диаметров гиперболы—гиперболическим поворотом.
Если косое отражение от прямой AB переводит точку C в точ-
ку D, то треугольники ABC и ABD имеют одно и то же основание
AB и равные высоты, поэтому площади этих треугольников равны.
Отсюда видно, что косые отражения от прямых, как и прямые отра-
жения, являются эквиаффинными преобразованиями. Поэтому пара-
болические, эллиптические и гиперболические повороты, являющиеся
произведениями отражений относительно двух прямых, также являют-
ся эквиаффинными преобразованиями.
Параболический поворот, как и отражения относительно диаме-
тров параболы, переводит в себя параболу. Аналогично, эллиптиче-
ский поворот переводит в себя эллипс, а гиперболический поворот—
гиперболу.
Параболический поворот, переводящий ось y=0 параболы (5.4)
в диаметр y=h той же параболы, имеет вид:
x_=x+h
p
y+h2
2p
, y_=y+h. (7.7)
68
Параболический поворот (7.7) является произведением сдвига
(7.6) при B=h/p и параллельного переноса x_=x+h2/2p, y_=y+h.
Эллиптический поворот, переводящий в себя эллипс (5.5), име-
ет вид:
x_=x cos φ+a
b
y sin φ, y_=−b
a
x sin φ+y cos φ. (7.8)
Гиперболический поворот, переводящий в себя гиперболу (5.6),
имеет вид:
x_=x ch φ+a
b
y sh φ, y_=b
a
x sh φ+y ch φ. (7.9)
Гиперболический поворот
x_=x ch ψ+t sh ψ, t_=x sh ψ+t ch ψ
применяется для геометрической интерпретации перехода от одной
инерциальной системы к другой при движении вдоль прямой в спе-
циальной теории относительности Эйнштейна в плоскости с коорди-
натами x и t. Аргумент ψ связан со скоростью v второй инерци-
альной системы относительно первой и со скоростью c света соотно-
шением
th ψ=v/c.
Если преобразования (7.7), (7.8) и (7.9) записаны в виде (7.2),
определители AE−BD этих преобразований, соответственно, равны
1・1−h/p・0=1, cos2 φ+sin2 φ=1, ch2 φ−sh2 φ=1, и мы снова получа-
ем, что эти преобразования эквиаффинные.
Поскольку аффинные преобразования переводят параллельные
прямые в параллельные прямые и сохраняют простые отношения тро-
ек точек на прямых, преобразования (7.7), (7.8) и (7.9) переводят
диаметры конических сечений в диаметры, а ординаты, проведенные
к диаметрам—в такие же ординаты. Поэтому эллиптические и ги-
перболические повороты оставляют неподвижными центры эллипсов
и гипербол и переводят сопряженные диаметры этих конических сече-
ний в сопряженные диаметры.
Гиперболические повороты, переводящие в себя одну гиперболу,
переводят в себя противоположную гиперболу. Асимптоты гипербол
можно определить как диаметры, которые сопряжены сами с со-
бой, поэтому гиперболические повороты переводят асимптоты гипербол
в себя.
При гиперболическом повороте (7.9) векторы, направленные по од-
ной из асимптот этой гиперболы, умножаются на число ch φ+sh φ=eφ,
а векторы, направленные по другой асмптоте, умножаются на число
ch φ−sh φ=1/eφ.
Сопряженные пары противоположных гипербол
В предложении II17 Аполлоний впервые
рассматривает <сопряженные противополож-
ные гиперболы> (рис. 33). Он не дает их оп-
ределения, но из приводимых свойств ясно, что
противоположные гиперболы, сопряженные
с гиперболами (5.6), определяются уравнением
y2
b2
−x2
a2 =1. (7.10)
В этом предложении Аполлоний доказы-
вает, что поперечные диаметры одной из пар сопряженных гипербол
(5.6) и (7.10) являются восставленными диаметрами другой пары и что
центры и асимптоты гипербол обеих пар совпадают.
Аполлоний доказывает для сопряженных диаметров двух сопря-
женных пар противоположных гипербол ряд теорем, аналогичных
теоремам о сопряженных диаметрах эллипса.
Гиперболический поворот, переводящий в себя пару противопо-
ложных гипербол, переводит в себя также пару противоположных
гипербол, сопряженную с первой парой.
Применение параболических, эллиптических
и гиперболических поворотов
Аполлоний нигде не упоминает параболических, эллиптических
и гиперболических поворотов, однако многие предложения <Кони-
ческих сечений> чрезвычайно легко доказываются с помощью этих
поворотов. Поэтому весьма вероятно, что Аполлоний пользовался таки-
ми поворотами для получения результатов этих предложений, но позже
он находил для этих предложений доказательства с помощью методов,
обычно применявшихся античными математиками.
Наиболее ярким примером такого предложения является упоми-
навшееся нами предложение II3, утверждение которого может быть
получено из определения асимптот гиперболы, данного в предложе-
нии II1, с помощью гиперболического поворота, переводящего в себя
эту гиперболу.
Многие из предложений III1—III15, в которых доказываются те-
оремы о равенстве площадей плоских фигур, могут быть доказаны
с помощью параболических, эллиптических и гиперболических по-
воротов. Например, в предложении III1 рассматривается коническое
сечение AB, проводятся касательные AEC и BED и диаметры AD и BC
и доказывается равенство площадей треугольников ADE и EBC.
Это равенство очевидно в случае, когда треугольники симметричны
относительно оси конического сечения. Для параболы, диаметры AD
и BC которой параллельны, общий случай этого равенства может быть
получен из упомянутого параболическим поворотом. Для гиперболы
и эллипса, диаметры AD и BC которых пересекаются в их центрах,
общий случай может быть получен из упомянутого гиперболическим
или эллиптическим поворотом вокруг центра.
Многие из предложений VII6—VII31, в которых доказываются те-
оремы о сопряженных диаметрах конических сечений, могут быть
доказаны с помощью эллиптических и гиперболических поворотов. От-
метим следующие из этих предложений.
В предложении VII12 доказывается: <Во всяком эллипсе сумма
квадратов любых двух сопряженных диаметров равна сумме квадратов
осей> [26, с. 412—413]. Обозначим большую и малую оси эллипса,
определяемого уравнением (5.5) в прямоугольных координатах, 2a
и 2b, а два сопряженных диаметра этого эллипса—2a_ и 2b_ .
Для доказательства этого утверждения заметим, что эллиптический
поворот (7.8) переводит точку эллипса с координатами x=a, y=0
в точку с координатами x_=a cos φ, y_=−b sin φ. Поэтому
a_2=x_2+y_2=a2 cos2 φ+b2 sin2 φ. (7.11)
То же преобразование переводит точку эллипса с координатами
x=0, y=b в точку с координатами x_=a sin φ, y_=b cos φ. Поэтому
b_2=x_2+y_2=a2 sin2 φ+b2 cos2 φ, (7.12)
откуда получаем равенство
a_2+b_2=a2+b2,
равносильное предложению VII12.
В предложении VII13 доказывается: <Во всякой гиперболе раз-
ность квадратов осей равна разности квадратов любых двух сопряжен-
ных диаметров> [26, с. 414—415]. Обозначим вещественную и мнимую
оси гиперболы, определяемой уравнением (5.6) в прямоугольных ко-
ординатах, 2a и 2b, а сопряженные поперечный и восставленный
диаметры этой гиперболы—2a_ и 2b_ .
Для доказательства этого утверждения заметим, что гиперболиче-
ский поворот (7.9) переводит точку гиперболы с координатами x=a,
y=0 в точку с координатами x_=a ch φ, y_=b sh φ. Поэтому
a_2=x_2+y_2=a2 ch2 φ+b2 sh2 φ. (7.13)
То же преобразование переводит точку сопряженной гиперболы
с координатами x=0, y=b в точку с координатами x_=a sh φ, y_=
=b ch φ. Поэтому
b_2=x_2+y_2=a2 sh2 φ+b2 ch2 φ, (7.14)
71
откуда получаем равенство
a_2−b_2=a2−b2,
равносильное предложению VII13.
В предложении VII31 доказывается: <Если в эллипсе или в паре
сопряженных противоположных гипербол проведены два сопряженных
диаметра, то параллелограмм, ограниченный диаметрами с углами,
равными углам при центре, равен прямоугольнику, ограниченному
осями> [26, с. 450—451]. Здесь под словом <равен> имеется в виду
<обладает равной площадью>.
Это предложение является следствием того, что эллиптический
и гиперболический повороты (7.8) и (7.9) переводят оси эллипса и па-
ры сопряженных гипербол в сопряженные диаметры этих конических
сечений и являются эквиаффинными преобразованиями.