Аффинные преобразования
С каждым диаметром конического сечения связано инволютив-
ное преобразование (6.20) в той системе координат, осью Ox которой
является этот диаметр, а осью Oy—сопряженный с ним диаметр.
В том случае, когда диаметр конического сечения не является его
осью, эта система координат—косоугольная, и преобразование (6.20)
не является движением плоскости. В этом случае преобразование
(6.20) является аффинным преобразованием плоскости.
Аффинными преобразованиями плоскости называются взаимно
однозначные преобразования плоскости, переводящие прямые в пря-
мые. Так как такие преобразования не могут перевести параллельные
прямые в пересекающиеся, аффинные преобразования переводят па-
раллельные прямые в параллельные. Поэтому аффинные преобразова-
ния переводят параллелограммы в параллелограммы, и ориентирован-
ные отрезки, представляемые одним и тем же вектором,—в такие же
отрезки, а значит, аффинные преобразования переводят векторы в век-
торы. При этом сумма векторов переводится в сумму соответствующих
векторов, а произведение вектора на вещественное число—в произве-
дение соответствующего вектора на то же число.
Если точки M, N, P лежат _____на одной прямой, то векторы −→a=
−−→
MN
и
−→b =
−−→
MP коллинеарны, и вектор
−→b равен произведению вектора −→a
на число
V(M, N; P)=MP/MN, (7.1)
называемое простым отношением точек M, N, P. Из указанных свойств
аффинных преобразований векторов следует, что при аффинных пре-
образованиях плоскости сохраняются простые отношения троек точек,
лежащих на одной прямой.
Если на плоскости заданы два неколлинеарных вектора
−→i и
−→j ,
всякий вектор
−−→
OM может быть представлен в виде линейной комбина-
ции
−−→
OM=x
−→i +y
−→j . Числа x и y называются аффинными координатами
точки M в системе координат с началом O и осями Ox и Oy, напра-
вленными по векторам
−→i и
−→j .
Аффинные преобразования записываются в аффинных координа-
тах следующим образом:
x_=Ax+By+C, y_=Dx+Ey+F. (7.2)
Важнейшими видами аффинных преобразований являются пре-
образования
x_=x, y_=Ey; (7.3)
x_=Ax, y_=Ay; (7.4)
x_=x+C, y_=y; (7.5)
x_=x+By, y_=y. (7.6)
Преобразование (7.3) при E<1 называется сжатием к оси Ox,
при E>1—растяжением от оси Ox, в случае прямоугольных коорди-
нат эти преобразования называются прямыми сжатием и растяжением,
в случае косоугольных координат—косыми сжатием и растяжением.
Преобразование (7.4) называется гомотетией, оно переводит каждую
фигуру в подобную ей фигуру. При A<1 гомотетия называется сжа-
тием к точке O, при A>1 она называется растяжением от точки O,
при A=−1 она называется отражением относительно точки O.
Преобразование (7.5) является движением, называемым парал-
лельным переносом вдоль оси Ox.
Преобразование (7.6) называется сдвигом вдоль оси Ox. Сдвиг
применяется для геометрической интерпретации перехода от одной
инерциальной системы к другой при движении вдоль прямой со ско-
ростью v в классической механике Галилея—Ньютона
x_=x−vt, t_=t.
При преобразованиях (7.3) и (7.6) все точки оси Ox остаются
неподвижными, преобразование (7.4) обладает единственной непо-
движной точкой O, преобразование (7.5) не имеет неподвижных точек.
Преобразование (7.2) при C=F=O называется аффинным враще-
нием вокруг точки O.
При аффинных преобразованиях (7.2) площади плоских фигур
умножаются на абсолютную величину определителя
___
A B
D E
___
. В случае,
когда эта абсолютная величина равна 1, аффинные преобразования
(7.2) называются эквиаффинными преобразованиями. При этих пре-
образованиях сохраняются площади плоских фигур.
Эквиаффинные преобразования рассматривались Сабитом ибн
Коррой в трактате о сечениях цилиндра. Аффинные преобразования
общего вида рассматривались его внуком Ибрахимом ибн Синаном
в трактате о площади сегмента параболы. Алексис Клод Клеро (1713—
1765) называл фигуры, одна из которых получена из другой аффин-
ным преобразованием, <фигурами одного и того же вида>, а Леонард Эйлер (1707—1783) ввел для таких фигур термин <аффинные фигу-
ры>. Более подробно об аффинной геометрии и ее истории см. [16,
с. 111—130; 18, с. 126—128, 138—142].