Аффинные преобразования

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

С каждым диаметром конического сечения связано инволютив-

ное преобразование (6.20) в той системе координат, осью Ox которой

является этот диаметр, а осью Oy—сопряженный с ним диаметр.

В том случае, когда диаметр конического сечения не является его

осью, эта система координат—косоугольная, и преобразование (6.20)

не является движением плоскости. В этом случае преобразование

(6.20) является аффинным преобразованием плоскости.

Аффинными преобразованиями плоскости называются взаимно

однозначные преобразования плоскости, переводящие прямые в пря-

мые. Так как такие преобразования не могут перевести параллельные

прямые в пересекающиеся, аффинные преобразования переводят па-

раллельные прямые в параллельные. Поэтому аффинные преобразова-

ния переводят параллелограммы в параллелограммы, и ориентирован-

ные отрезки, представляемые одним и тем же вектором,—в такие же

отрезки, а значит, аффинные преобразования переводят векторы в век-

торы. При этом сумма векторов переводится в сумму соответствующих

векторов, а произведение вектора на вещественное число—в произве-

дение соответствующего вектора на то же число.

Если точки M, N, P лежат _____на одной прямой, то векторы −→a=

−−→

MN

и

−→b =

−−→

MP коллинеарны, и вектор

−→b равен произведению вектора −→a

на число

V(M, N; P)=MP/MN, (7.1)

называемое простым отношением точек M, N, P. Из указанных свойств

аффинных преобразований векторов следует, что при аффинных пре-

образованиях плоскости сохраняются простые отношения троек точек,

лежащих на одной прямой.

Если на плоскости заданы два неколлинеарных вектора

−→i и

−→j ,

всякий вектор

−−→

OM может быть представлен в виде линейной комбина-

ции

−−→

OM=x

−→i +y

−→j . Числа x и y называются аффинными координатами

точки M в системе координат с началом O и осями Ox и Oy, напра-

вленными по векторам

−→i и

−→j .

Аффинные преобразования записываются в аффинных координа-

тах следующим образом:

x_=Ax+By+C, y_=Dx+Ey+F. (7.2)

Важнейшими видами аффинных преобразований являются пре-

образования

x_=x, y_=Ey; (7.3)

x_=Ax, y_=Ay; (7.4)

x_=x+C, y_=y; (7.5)

x_=x+By, y_=y. (7.6)

Преобразование (7.3) при E<1 называется сжатием к оси Ox,

при E>1—растяжением от оси Ox, в случае прямоугольных коорди-

нат эти преобразования называются прямыми сжатием и растяжением,

в случае косоугольных координат—косыми сжатием и растяжением.

Преобразование (7.4) называется гомотетией, оно переводит каждую

фигуру в подобную ей фигуру. При A<1 гомотетия называется сжа-

тием к точке O, при A>1 она называется растяжением от точки O,

при A=−1 она называется отражением относительно точки O.

Преобразование (7.5) является движением, называемым парал-

лельным переносом вдоль оси Ox.

Преобразование (7.6) называется сдвигом вдоль оси Ox. Сдвиг

применяется для геометрической интерпретации перехода от одной

инерциальной системы к другой при движении вдоль прямой со ско-

ростью v в классической механике Галилея—Ньютона

x_=x−vt, t_=t.

При преобразованиях (7.3) и (7.6) все точки оси Ox остаются

неподвижными, преобразование (7.4) обладает единственной непо-

движной точкой O, преобразование (7.5) не имеет неподвижных точек.

Преобразование (7.2) при C=F=O называется аффинным враще-

нием вокруг точки O.

При аффинных преобразованиях (7.2) площади плоских фигур

умножаются на абсолютную величину определителя

___

A B

D E

___

. В случае,

когда эта абсолютная величина равна 1, аффинные преобразования

(7.2) называются эквиаффинными преобразованиями. При этих пре-

образованиях сохраняются площади плоских фигур.

Эквиаффинные преобразования рассматривались Сабитом ибн

Коррой в трактате о сечениях цилиндра. Аффинные преобразования

общего вида рассматривались его внуком Ибрахимом ибн Синаном

в трактате о площади сегмента параболы. Алексис Клод Клеро (1713—

1765) называл фигуры, одна из которых получена из другой аффин-

ным преобразованием, <фигурами одного и того же вида>, а Леонард Эйлер (1707—1783) ввел для таких фигур термин <аффинные фигу-

ры>. Более подробно об аффинной геометрии и ее истории см. [16,

с. 111—130; 18, с. 126—128, 138—142].