Асимптоты гиперболы

Аполлоний определяет асимптоты гиперболы в предложении II1:

<Если прямая является касательной к гиперболе в ее вершине и если

на этой прямой по обе стороны от диаметра отложены отрезки, ква-

драты которых равны четверти эйдоса, то прямые, которые проведены

из центра сечения к концам определенных таким образом отрезков ка-

сательной, не встретят сечение> (рис. 31) [25, т. 2, с. 2].

Поскольку площадь эйдоса равна 2a・2p=4b2, отрезки BD и BE,

откладываемые на касательной к гиперболе в ее точке B, равны b.

Каждую из прямых CD и CE, соединяющих центр C гиперболы

с точками D и E, Аполлоний называет <асимптотой> (asymptota—<не-

совпадающая>; это слово—того же корня, что и symptoma). Таким

образом Аполлоний определяет асимптоты как диагонали параллело-

грамма, одна из сторон которого равна и параллельна диаметру AB=2a

гиперболы, а другая—линия DE=2b.

Аполлоний доказывает эту теорему от противного, предполагая, что асимптота CD имеет общую точку H с гиперболой. Из точки H

он проводит ординату HO гиперболы, то-

гда CO является абсциссой x точки H.

Если H —точка асимптоты, то ее орди-

ната OH равна b a x, если же H —точка

гиперболы, то ее ордината y удовлетворяет

уравнению (6.18) и квадрат ординаты y2

равен

b2

_ x2

a2

−1

_

=

_ b

a

x

_2−b2,

и ордината y точки гиперболы меньше,

чем b

a

x.

61

Из этого предложения следует, что асимптоты гиперболы (6.18)

определяются уравнением

x2

a2

−y2

b2 =0. (6.28)

В предложении II2 доказывается, что каждый диаметр гиперболы,

проходящий внутри угла DCE, пересекается с гиперболой и поэтому

не может быть асимптотой.

В предложении II3 доказывается, что касательная к гиперболе

в любой ее точке пересекается с обеими ее асимптотами, и отрезок

касательной между асимптотами делится в точке касания пополам.

Предложение II4 является задачей о построении гиперболы с дан-

ными асимптотами CD и CE, проходящей через данную точку, нахо-

дящуюся внутри угла DCE.

Из предложений II8—II16, в которых рассматриваются асимптоты

гипербол, отметим следующие предложения.

Предложение II12 <Конических сечений> гласит: <Если из точки

сечения проведены две прямые к асимптотам, и если из некоторой

точки этого сечения проведены параллели к этим прямым, то прямо-

угольник под параллелями будет равен прямоугольнику под прямыми,

которым они параллельны> [25, т. 2, с. 22].

В случае, когда проведенные прямые параллельны самим асим-

птотам гиперболы, это предложение равносильно уравнению ги-

перболы

xy=const (6.29)

в системе координат, осями которой являются асимптоты.

Уравнение (6.29) является частным случаем уравнения (6.22).

В предложении II13 доказывается, что прямая линия, параллель-

ная одной из асимптот гиперболы, пересекает ее в одной точке.

Направление асимптоты гиперболы современные математики называ-

ют <асимптотическим направлением гиперболы>. В предложении I26

говорится, что аналогичным свойством обладают прямые, проведенные

в направлении оси параболы, которое называют <асимптотическим на-

правлением параболы>.

В предложении II14 Аполлоний доказывает, что асимптоты гипер-

болы и сама эта гипербола, продолженная неопределенно, приближа-

ются друг к другу, и расстояние между ними при их продолжении

становится меньше любого заданного расстояния.

К формулировке этого предложения весьма близки определе-

ния Карла Вейерштрасса (1815—1897) предела последовательности

и непрерывности функций: число a является пределом последователь-

ности an, если для всякого ε>0 существует такое число N, что для всех

n>N выполняется неравенство |a−an

|<ε; функция f(x) непрерывна

в точке x=x0, если для всякого ε>0 существует такая величина η>0,

что если |x−x0

|<η, выполняется неравенство |f(x)−f(x0)|<ε. Возможно, что эти определения Вейерштрасса возникли под влиянием рассматриваемого предложения Аполлония.

В предложении II15 доказывается, что две противоположные гиперболы имеют одни и те же асимптоты. Это утверждение следует из того, что противоположные гиперболы определяются одними и теми же уравнениями.

В предложениях II5—II7 доказывается, что если диаметр конического сечения делит пополам его хорды, то касательная в конце диаметра параллельна этим хордам, а также обратные утверждения.

Геометрические места к трем и четырем прямым предисловии к I книге <Конических сечений> Аполлоний упоминает <геометрические места точек к трем и четырем прямым>.

Пусть на плоскости даны три или четыре прямые с уравнениями

aix+biy=ci (i=1, 2, 3, 4). (6.30)

Если эти уравнения нормированы условиями a2i

+b2i

=1, то величины di=aix+biy−ci равны расстояниям от точки M с координатами

x, y до прямых (6.30). Геометрическое место точек к четырем прямым

определяется условием

d1d3=kd2d4, (6.31)

а геометрическое место к трем прямым определяется условием

d1d3=kd22

. (6.32)

Если мы подставим в формулы (6.31) и (6.32) выражения di, мы

получим частный случай уравнения (6.23). Поэтому геометрические

места к трем и четырем прямым представляют собой кривые второ-

го порядка, т. е. в общем случае конические сечения. Во введении

к I книге <Конических сечений> Аполлоний писал, что эту задачу ис-

следовал еще Евклид, но предложенное им решение было неполным,

и его нельзя было довести до конца без новых открытий Аполлония,

изложенных в III книге <Конических сечений>.

Г. Цейтен [59, с. 126—149] доказал, что из предложений III53—III56, содержащих построение конического сечения с помощью проек-

тивного соответствия двух пучков прямых, можно вывести, что искомое

геометрическое место является коническим сечением, и любое коническое сечение есть геометрическое место к трем или четырем прямым.

Приведенное нами решение этой задачи было получено Рене Декартом (1596—1650) как первый пример применения его аналитической геометрии.

Связь между пересечением прямых и парами точек конических сечений

В предложениях II24 и II25 Аполлоний устанавливает связь между пересекающимися прямыми и парами точек конических сечений, общих с этими прямыми. Аполлоний доказывает, что если прямые AB и CD пересекаются с коническим сечением в точках A, B, C, D и если

точка пересечения прямых AB и CD—внутренняя точка конического

сечения, то пары точек A, B и C, D конического сечения разделяют

друг друга, а если точка пересечения прямых—внешняя точка конического сечения, то пары точек A, B и C, D не разделяют друг друга.

Аполлоний формулирует это утверждение только для параболы и гиперболы и не формулирует его для эллипса, для которого это условие также имеет место, по-видимому, по той причине, что выполнение этого правила для окружности общеизвестно, а правило для эллипса легко получить из правила для окружности сжатием окружности к ее диаметру.

Нахождение диаметров, центров и осей конических сечений В предложении II44 Аполлоний находит диаметры конических

сечений. В силу предложения II7 диаметр конического сечения нахо-

дится как прямая линия, соединяющая середины двух параллельных

хорд сечения.

В предложении II45 находится центр эллипса или гиперболы как

точка пересечения двух диаметров этих конических сечений.

В предложении II46 определяется ось параболы. Если найденный

диаметр параболы не является ее осью, то проводится хорда параболы,

перпендикулярная найденному диаметру, и осью параболы является

прямая линия, проведенная через центр этой хорды параллельно ее

диаметру.

В предложении II47 находятся оси эллипса и гиперболы. Если най-

денный диаметр не является осью, то из центра конического сечения

проводится дуга окружности, пересекающая сечение в двух точках,

проводится хорда, соединяющая эти точки. Одна из осей—прямая ли-

ния, проходящая через центр сечения и середину проведенной хорды,

вторая ось—прямая линия, проходящая через центр сечения и парал-

лельная проведенной хорде.

Уравнение (6.23) можно переписать в векторной форме

−→xΦ−→x+2

−→

V−→x+F=0, (6.33)

где Φ—линейный оператор с матрицей

_

A B

B C

_

,

−→

V —вектор с ко-

ординатами D и E. Оси конического сечения (6.33) направлены по собственным векторам оператора Φ. Поэтому предложение II47 является первой в истории математики задачей, равносильной нахождению собственных векторов линейного оператора.