Асимптоты гиперболы
Аполлоний определяет асимптоты гиперболы в предложении II1:
<Если прямая является касательной к гиперболе в ее вершине и если
на этой прямой по обе стороны от диаметра отложены отрезки, ква-
драты которых равны четверти эйдоса, то прямые, которые проведены
из центра сечения к концам определенных таким образом отрезков ка-
сательной, не встретят сечение> (рис. 31) [25, т. 2, с. 2].
Поскольку площадь эйдоса равна 2a・2p=4b2, отрезки BD и BE,
откладываемые на касательной к гиперболе в ее точке B, равны b.
Каждую из прямых CD и CE, соединяющих центр C гиперболы
с точками D и E, Аполлоний называет <асимптотой> (asymptota—<не-
совпадающая>; это слово—того же корня, что и symptoma). Таким
образом Аполлоний определяет асимптоты как диагонали параллело-
грамма, одна из сторон которого равна и параллельна диаметру AB=2a
гиперболы, а другая—линия DE=2b.
Аполлоний доказывает эту теорему от противного, предполагая, что асимптота CD имеет общую точку H с гиперболой. Из точки H
он проводит ординату HO гиперболы, то-
гда CO является абсциссой x точки H.
Если H —точка асимптоты, то ее орди-
ната OH равна b a x, если же H —точка
гиперболы, то ее ордината y удовлетворяет
уравнению (6.18) и квадрат ординаты y2
равен
b2
_ x2
a2
−1
_
=
_ b
a
x
_2−b2,
и ордината y точки гиперболы меньше,
чем b
a
x.
61
Из этого предложения следует, что асимптоты гиперболы (6.18)
определяются уравнением
x2
a2
−y2
b2 =0. (6.28)
В предложении II2 доказывается, что каждый диаметр гиперболы,
проходящий внутри угла DCE, пересекается с гиперболой и поэтому
не может быть асимптотой.
В предложении II3 доказывается, что касательная к гиперболе
в любой ее точке пересекается с обеими ее асимптотами, и отрезок
касательной между асимптотами делится в точке касания пополам.
Предложение II4 является задачей о построении гиперболы с дан-
ными асимптотами CD и CE, проходящей через данную точку, нахо-
дящуюся внутри угла DCE.
Из предложений II8—II16, в которых рассматриваются асимптоты
гипербол, отметим следующие предложения.
Предложение II12 <Конических сечений> гласит: <Если из точки
сечения проведены две прямые к асимптотам, и если из некоторой
точки этого сечения проведены параллели к этим прямым, то прямо-
угольник под параллелями будет равен прямоугольнику под прямыми,
которым они параллельны> [25, т. 2, с. 22].
В случае, когда проведенные прямые параллельны самим асим-
птотам гиперболы, это предложение равносильно уравнению ги-
перболы
xy=const (6.29)
в системе координат, осями которой являются асимптоты.
Уравнение (6.29) является частным случаем уравнения (6.22).
В предложении II13 доказывается, что прямая линия, параллель-
ная одной из асимптот гиперболы, пересекает ее в одной точке.
Направление асимптоты гиперболы современные математики называ-
ют <асимптотическим направлением гиперболы>. В предложении I26
говорится, что аналогичным свойством обладают прямые, проведенные
в направлении оси параболы, которое называют <асимптотическим на-
правлением параболы>.
В предложении II14 Аполлоний доказывает, что асимптоты гипер-
болы и сама эта гипербола, продолженная неопределенно, приближа-
ются друг к другу, и расстояние между ними при их продолжении
становится меньше любого заданного расстояния.
К формулировке этого предложения весьма близки определе-
ния Карла Вейерштрасса (1815—1897) предела последовательности
и непрерывности функций: число a является пределом последователь-
ности an, если для всякого ε>0 существует такое число N, что для всех
n>N выполняется неравенство |a−an
|<ε; функция f(x) непрерывна
в точке x=x0, если для всякого ε>0 существует такая величина η>0,
что если |x−x0
|<η, выполняется неравенство |f(x)−f(x0)|<ε. Возможно, что эти определения Вейерштрасса возникли под влиянием рассматриваемого предложения Аполлония.
В предложении II15 доказывается, что две противоположные гиперболы имеют одни и те же асимптоты. Это утверждение следует из того, что противоположные гиперболы определяются одними и теми же уравнениями.
В предложениях II5—II7 доказывается, что если диаметр конического сечения делит пополам его хорды, то касательная в конце диаметра параллельна этим хордам, а также обратные утверждения.
Геометрические места к трем и четырем прямым предисловии к I книге <Конических сечений> Аполлоний упоминает <геометрические места точек к трем и четырем прямым>.
Пусть на плоскости даны три или четыре прямые с уравнениями
aix+biy=ci (i=1, 2, 3, 4). (6.30)
Если эти уравнения нормированы условиями a2i
+b2i
=1, то величины di=aix+biy−ci равны расстояниям от точки M с координатами
x, y до прямых (6.30). Геометрическое место точек к четырем прямым
определяется условием
d1d3=kd2d4, (6.31)
а геометрическое место к трем прямым определяется условием
d1d3=kd22
. (6.32)
Если мы подставим в формулы (6.31) и (6.32) выражения di, мы
получим частный случай уравнения (6.23). Поэтому геометрические
места к трем и четырем прямым представляют собой кривые второ-
го порядка, т. е. в общем случае конические сечения. Во введении
к I книге <Конических сечений> Аполлоний писал, что эту задачу ис-
следовал еще Евклид, но предложенное им решение было неполным,
и его нельзя было довести до конца без новых открытий Аполлония,
изложенных в III книге <Конических сечений>.
Г. Цейтен [59, с. 126—149] доказал, что из предложений III53—III56, содержащих построение конического сечения с помощью проек-
тивного соответствия двух пучков прямых, можно вывести, что искомое
геометрическое место является коническим сечением, и любое коническое сечение есть геометрическое место к трем или четырем прямым.
Приведенное нами решение этой задачи было получено Рене Декартом (1596—1650) как первый пример применения его аналитической геометрии.
Связь между пересечением прямых и парами точек конических сечений
В предложениях II24 и II25 Аполлоний устанавливает связь между пересекающимися прямыми и парами точек конических сечений, общих с этими прямыми. Аполлоний доказывает, что если прямые AB и CD пересекаются с коническим сечением в точках A, B, C, D и если
точка пересечения прямых AB и CD—внутренняя точка конического
сечения, то пары точек A, B и C, D конического сечения разделяют
друг друга, а если точка пересечения прямых—внешняя точка конического сечения, то пары точек A, B и C, D не разделяют друг друга.
Аполлоний формулирует это утверждение только для параболы и гиперболы и не формулирует его для эллипса, для которого это условие также имеет место, по-видимому, по той причине, что выполнение этого правила для окружности общеизвестно, а правило для эллипса легко получить из правила для окружности сжатием окружности к ее диаметру.
Нахождение диаметров, центров и осей конических сечений В предложении II44 Аполлоний находит диаметры конических
сечений. В силу предложения II7 диаметр конического сечения нахо-
дится как прямая линия, соединяющая середины двух параллельных
хорд сечения.
В предложении II45 находится центр эллипса или гиперболы как
точка пересечения двух диаметров этих конических сечений.
В предложении II46 определяется ось параболы. Если найденный
диаметр параболы не является ее осью, то проводится хорда параболы,
перпендикулярная найденному диаметру, и осью параболы является
прямая линия, проведенная через центр этой хорды параллельно ее
диаметру.
В предложении II47 находятся оси эллипса и гиперболы. Если най-
денный диаметр не является осью, то из центра конического сечения
проводится дуга окружности, пересекающая сечение в двух точках,
проводится хорда, соединяющая эти точки. Одна из осей—прямая ли-
ния, проходящая через центр сечения и середину проведенной хорды,
вторая ось—прямая линия, проходящая через центр сечения и парал-
лельная проведенной хорде.
Уравнение (6.23) можно переписать в векторной форме
−→xΦ−→x+2
−→
V−→x+F=0, (6.33)
где Φ—линейный оператор с матрицей
_
A B
B C
_
,
−→
V —вектор с ко-
ординатами D и E. Оси конического сечения (6.33) направлены по собственным векторам оператора Φ. Поэтому предложение II47 является первой в истории математики задачей, равносильной нахождению собственных векторов линейного оператора.