Преобразования координат

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

В предложениях I46—I51 Аполлоний рассматривает преобразова-

ния координат, сохраняющие вид уравнений конических сечений.

В предложении I46 доказывается, что всякая прямая, параллельная

оси параболы, является ее диаметром.

В предложении I47 доказывается, что всякая прямая, проходящая

через центр эллипса или гиперболы, является диаметром этого кони-

ческого сечения.

Далее Аполлоний показывает, что уравнения (5.4), (5.5) и (5.6)

парабол, эллипсов и гипербол получаются всегда, когда за ось абсцисс

принимается произвольный диаметр конического сечения, а за ось

ординат—касательная к сечению в конце этого диаметра.

В общем случае эта система координат косоугольная, система

координат является прямоугольной в том случае, когда за ось абсцисс

принимается ось конического сечения.

Прямой круговой конус

В прямом круговом конусе (рис. 30, а—в) γ=δ=90◦−α,

и формула (6.9) принимает вид

p

r

=2 sin2 α cos2 α

cos2 α

=2 sin2 α, (6.24)

а формула (6.12) принимает вид

a

p

= cos2 α

sin(90◦−α+β) sin(90◦−αβ)

. (6.25)

В случае парабол, с помощью которых Менехм решал задачу

об удвоении куба, α=45◦ и p/r=2 sin2 45◦=1, т. е. p=r.

В случае эллипса β<γ, т. е. α+β<90◦, и формула (6.22) равно-

сильна формуле

p

a

=cos(α−β) cos(α+β)

cos2 α

=cos2 α cos2 β−sin2 α sin2 β

cos2 α

=

=cos2 β−tg2 α sin2 β.

В силу формулы (5.10)

e2=1−p

a

=sin2 β(1+tg2 α)= sin2 β

cos2 α

,

откуда находим

e=sin β

cos α

. (6.26)

В случае гиперболы γ<β, т. е. α+β>90◦, и формула (6.25)

равносильна формуле

p

a

=

− cos(α−β) cos(α+β)

cos2 α

=sin2 α sin2 β−cos2 α cos2 β

cos2 α

=

=tg2 α sin2 β−cos2 β.

В силу формулы (5.11)

e2=p

a

+1=(tg2 α+1) sin2 β=sin2 β

cos2 α,

откуда находим, что в случае гиперболы также имеет место формула (6.26).

Формула (6.26) верна также в случае параболы, когда β=δ=

=90◦−α и sin β=cos α.

В случае конических сечений, которые рассматривались пред-

шественниками Аполлония и высекались из поверхности прямого

кругового конуса плоскостью, перпендикулярной одной из прямо-

линейных образующих конуса, эксцентриситет конического сечения

зависит только от угла α. В этом случае β=α, и формула (6.26) при-

нимает вид

e=tg α. (6.27)

В случае окружности роль прямого кругового конуса играет пря-

мой круговой цилиндр, и α=0. В случае эллипса 0<α<45◦, в случае

параболы α=45◦, в случае гиперболы α>45◦.

Прямые стороны как удвоенные координаты

некоторых точек конических сечений

Найдем точки конических сечений (5.4), (6.16) и (6.18), ординаты

которых равны p, т. е. половине прямой стороны конического сечения.

Для параболы (5.4) такой точкой является точка с абсциссой x=

=p/2, так как y2=2pp/2=p2.

Для эллипса (6.16) такими точками являются точки, абсциссы x

которых равны Ѓ}

a2−b2, так как соотношение a2−b2

a2 +y2

b2 =1 равно-

сильно соотношению y2=b4/a2=p2.

Для гиперболы (6.18) такими точками являются точки, абсцис-

сы x которых равны Ѓ}

p

a2+b2, так как соотношение a2+b2

a2

−y2

b2 =1

равносильно соотношению y2=b4/a2=p2.