Преобразования координат
В предложениях I46—I51 Аполлоний рассматривает преобразова-
ния координат, сохраняющие вид уравнений конических сечений.
В предложении I46 доказывается, что всякая прямая, параллельная
оси параболы, является ее диаметром.
В предложении I47 доказывается, что всякая прямая, проходящая
через центр эллипса или гиперболы, является диаметром этого кони-
ческого сечения.
Далее Аполлоний показывает, что уравнения (5.4), (5.5) и (5.6)
парабол, эллипсов и гипербол получаются всегда, когда за ось абсцисс
принимается произвольный диаметр конического сечения, а за ось
ординат—касательная к сечению в конце этого диаметра.
В общем случае эта система координат косоугольная, система
координат является прямоугольной в том случае, когда за ось абсцисс
принимается ось конического сечения.
Прямой круговой конус
В прямом круговом конусе (рис. 30, а—в) γ=δ=90◦−α,
и формула (6.9) принимает вид
p
r
=2 sin2 α cos2 α
cos2 α
=2 sin2 α, (6.24)
а формула (6.12) принимает вид
a
p
= cos2 α
sin(90◦−α+β) sin(90◦−α−β)
. (6.25)
В случае парабол, с помощью которых Менехм решал задачу
об удвоении куба, α=45◦ и p/r=2 sin2 45◦=1, т. е. p=r.
В случае эллипса β<γ, т. е. α+β<90◦, и формула (6.22) равно-
сильна формуле
p
a
=cos(α−β) cos(α+β)
cos2 α
=cos2 α cos2 β−sin2 α sin2 β
cos2 α
=
=cos2 β−tg2 α sin2 β.
В силу формулы (5.10)
e2=1−p
a
=sin2 β(1+tg2 α)= sin2 β
cos2 α
,
откуда находим
e=sin β
cos α
. (6.26)
В случае гиперболы γ<β, т. е. α+β>90◦, и формула (6.25)
равносильна формуле
p
a
=
− cos(α−β) cos(α+β)
cos2 α
=sin2 α sin2 β−cos2 α cos2 β
cos2 α
=
=tg2 α sin2 β−cos2 β.
В силу формулы (5.11)
e2=p
a
+1=(tg2 α+1) sin2 β=sin2 β
cos2 α,
откуда находим, что в случае гиперболы также имеет место формула (6.26).
Формула (6.26) верна также в случае параболы, когда β=δ=
=90◦−α и sin β=cos α.
В случае конических сечений, которые рассматривались пред-
шественниками Аполлония и высекались из поверхности прямого
кругового конуса плоскостью, перпендикулярной одной из прямо-
линейных образующих конуса, эксцентриситет конического сечения
зависит только от угла α. В этом случае β=α, и формула (6.26) при-
нимает вид
e=tg α. (6.27)
В случае окружности роль прямого кругового конуса играет пря-
мой круговой цилиндр, и α=0. В случае эллипса 0<α<45◦, в случае
параболы α=45◦, в случае гиперболы α>45◦.
Прямые стороны как удвоенные координаты
некоторых точек конических сечений
Найдем точки конических сечений (5.4), (6.16) и (6.18), ординаты
которых равны p, т. е. половине прямой стороны конического сечения.
Для параболы (5.4) такой точкой является точка с абсциссой x=
=p/2, так как y2=2p・p/2=p2.
Для эллипса (6.16) такими точками являются точки, абсциссы x
которых равны Ѓ}
√
a2−b2, так как соотношение a2−b2
a2 +y2
b2 =1 равно-
сильно соотношению y2=b4/a2=p2.
Для гиперболы (6.18) такими точками являются точки, абсцис-
сы x которых равны Ѓ}
p
a2+b2, так как соотношение a2+b2
a2
−y2
b2 =1
равносильно соотношению y2=b4/a2=p2.