Свойства диаметров конических сечений

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

В предложениях II5—II7 и II26—II43 доказываются теоремы о свойствах диаметров конических сечений.

В предложениях II5 и II6

доказывается, что если диаметр конического сечения делит пополам его хорду, то касательная к сечению в конце диаметра параллельна этой хорде.

В предложении II7 доказывается, что если прямая линия делит

пополам хорду конического сечения и касательная в точке пересечения ее с коническим сечением параллельна этой хорде, то эта линия является диаметром сечения.

Из предложений II26—II43 отметим следующие предложения.

В предложениях II27—II31 доказывается, что касательные к элли-

псу в двух концах его диаметра и касательные к двум противополож-

ным гиперболам в двух концах их поперечного диаметра параллельны.

В предложениях II28 и II36 доказывается, что прямая линия, со-

единяющая середины двух параллельных хорд конического сечения,

является диаметром этого конического сечения. В предложении II37 доказывается, что два диаметра пары противоположных гипербол, из которых один поперечный, а другой восставленный, соединяющий центр с серединой прямолинейного отрезка,

параллельного первому диаметру и находящегося между обеими гиперболами, являются сопряженными диаметрами.

Аналогичное предложение о том, что два диаметра эллипса, из ко-

торых второй соединяет центр эллипса с серединой хорды, параллель-

ной первому диаметру, являются сопряженными диаметрами, Аполло-

ний, по-видимому, считает совпадающим с предложением I15.

Пары произвольных диаметров

В предложениях I18—I32 Аполлоний доказывает различные теоре-

мы о взаимном расположении конических сечений и прямых линий;

в частности, в предложении I26 он доказывает, что прямые, параллель-

ные оси параболы, пересекают ее в одной точке.

Отметим предложения I23 и I25, в первом из которых рассма-

тривается эллипс, в котором проведены два произвольных диаметра,

и доказывается, что прямая, соединяющая две точки дуги эллипса,

находящейся между концами диаметра, при продолжении пересечется

с продолжениями диаметров вне эллипса. Во втором из этих пред-

ложений рассматривается тот же эллипс и аналогичное утверждение

о касательной к эллипсу в одной из точек дуги, находящейся между

концами диаметра.

В доказательстве этих предложений Аполлоний предполагает, что

диаметры сопряженные, но обе теоремы верны для любых двух диаме-

тров. Возможно, применение сопряженных диаметров является след-

ствием того, что в аналогичной теореме предшественников Аполлония

говорилось о <двух диаметрах>—о двух осях эллипса.

Уравнение конического сечения в системе координат, осями ко-

торой являются два произвольных диаметра этого сечения, имеет вид

Ax2+2Bxy+Cy2+F=0. (6.22)

В наиболее общей системе координат уравнение конического се-

чения имеет вид

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0. (6.23)

Уравнения (6.22) и (6.23) кроме конического сечения могут

определять также пару вещественных или мнимо сопряженных пересе-

кающихся прямых, а в том случае, когда этим уравнениям не удовле-

творяет ни одна точка плоскости, их называют уравнениями мнимых

конических сечений; уравнение (6.23) может определять также пару

вещественных или мнимо сопряженных параллельных прямых, а так-

же пару совпадающих прямых.