Свойства диаметров конических сечений
В предложениях II5—II7 и II26—II43 доказываются теоремы о свойствах диаметров конических сечений.
В предложениях II5 и II6
доказывается, что если диаметр конического сечения делит пополам его хорду, то касательная к сечению в конце диаметра параллельна этой хорде.
В предложении II7 доказывается, что если прямая линия делит
пополам хорду конического сечения и касательная в точке пересечения ее с коническим сечением параллельна этой хорде, то эта линия является диаметром сечения.
Из предложений II26—II43 отметим следующие предложения.
В предложениях II27—II31 доказывается, что касательные к элли-
псу в двух концах его диаметра и касательные к двум противополож-
ным гиперболам в двух концах их поперечного диаметра параллельны.
В предложениях II28 и II36 доказывается, что прямая линия, со-
единяющая середины двух параллельных хорд конического сечения,
является диаметром этого конического сечения. В предложении II37 доказывается, что два диаметра пары противоположных гипербол, из которых один поперечный, а другой восставленный, соединяющий центр с серединой прямолинейного отрезка,
параллельного первому диаметру и находящегося между обеими гиперболами, являются сопряженными диаметрами.
Аналогичное предложение о том, что два диаметра эллипса, из ко-
торых второй соединяет центр эллипса с серединой хорды, параллель-
ной первому диаметру, являются сопряженными диаметрами, Аполло-
ний, по-видимому, считает совпадающим с предложением I15.
Пары произвольных диаметров
В предложениях I18—I32 Аполлоний доказывает различные теоре-
мы о взаимном расположении конических сечений и прямых линий;
в частности, в предложении I26 он доказывает, что прямые, параллель-
ные оси параболы, пересекают ее в одной точке.
Отметим предложения I23 и I25, в первом из которых рассма-
тривается эллипс, в котором проведены два произвольных диаметра,
и доказывается, что прямая, соединяющая две точки дуги эллипса,
находящейся между концами диаметра, при продолжении пересечется
с продолжениями диаметров вне эллипса. Во втором из этих пред-
ложений рассматривается тот же эллипс и аналогичное утверждение
о касательной к эллипсу в одной из точек дуги, находящейся между
концами диаметра.
В доказательстве этих предложений Аполлоний предполагает, что
диаметры сопряженные, но обе теоремы верны для любых двух диаме-
тров. Возможно, применение сопряженных диаметров является след-
ствием того, что в аналогичной теореме предшественников Аполлония
говорилось о <двух диаметрах>—о двух осях эллипса.
Уравнение конического сечения в системе координат, осями ко-
торой являются два произвольных диаметра этого сечения, имеет вид
Ax2+2Bxy+Cy2+F=0. (6.22)
В наиболее общей системе координат уравнение конического се-
чения имеет вид
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0. (6.23)
Уравнения (6.22) и (6.23) кроме конического сечения могут
определять также пару вещественных или мнимо сопряженных пересе-
кающихся прямых, а в том случае, когда этим уравнениям не удовле-
творяет ни одна точка плоскости, их называют уравнениями мнимых
конических сечений; уравнение (6.23) может определять также пару
вещественных или мнимо сопряженных параллельных прямых, а так-
же пару совпадающих прямых.