Касательные к коническим сечениям
При выводе уравнений (5.4), (5.5) и (5.6) Аполлоний рассматривал только ось абсцисс конического сечения—один из диаметров этого сечения, абсциссы точек конического сечения—отрезки, отсекаемые на диаметре от вершины сечения, и ординаты этих точек— половины хорд сечения, которые диаметр делит пополам. При выводе этих уравнений Аполлоний не рассматривал оси ординат—касательной к коническому сечению в его вершине.
Эта касательная появляется только в предложении I17. <Если в коническом сечении провести из вершины этой линии прямую, параллельную одной из ординат, она попадет во внешнюю область сечения>
[25, т. 1, с. 258]. Теорема доказывается от противного: предполагается, что прямая, проведенная из вершины A конического сечения параллельно ординатам, находится во внутренней области этого сечения.
Тогда эта прямая пересечет коническое сечение в некоторой точке C.
Но ордината точки C соединяет эту точку с некоторой точкой диаметра, находящейся во внутренней области сечения, и не может пройти через вершину A. Аполлоний заканчивает доказательство этого предложения словами о прямой, проведенной из вершины A параллельно ординатам: <Она попадет во внешнюю область и, следовательно, будет касательной к сечению> [25, т. 1, с. 258].
Здесь Аполлоний распространил на конические сечения определение касательной к окружности, данное Евклидом в предложении III16
<Начал>.
Аполлоний также распространил на конические сечения понятия внешних и внутренних точек и областей окружности. Под внешней точкой конического сечения он имел в виду такую точку, из которой можно провести касательную к сечению, а под внутренней точкой—такую точку, из которой касательную к коническому сечению провести нельзя.
В современной геометрии касательная к кривой определяется как
предельное положение секущей при стремлении одной из двух точек ее
пересечения с кривой к другой из этих точек. Определение Аполлония,
по существу, совпадает с этим определением, так как при стремлении
прямой, проведенной в направлении ординат конического сечения,
к его вершине, эта прямая пересекается с сечением в двух точках,
находящихся по разные стороны диаметра, и эти точки сливаются
в вершине сечения.
Аполлоний снова рассматривает касательную к коническому се-
чению в предложении I32: <Если через вершину конического сечения
провести прямую, параллельную одной из ординат, она будет ка-
сательной к сечению, и никакая другая прямая не попадет между
коническим сечением и этой прямой> [25, т. 1, с. 282—284].