Симметрии конических сечений
В предложении I30 доказывается, что коническое сечение не может иметь более одного центра. Центр эллипса и пары противоположных гипербол обладает тем свойством, что все диаметры эллипса и все поперечные диаметры гипербол делятся в нем пополам. Поэтому центр эллипса и пары противоположных гипербол является центром симметрии этих конических сечений, т. е. эти конические сечения переходят в себя при отражении относительно центра.
В системах координат, в которых эллипсы и гиперболы определяются уравнениями (6.16) и (6.18), центры этих конических сечений совпадают с началом координат, и отражение от центра имеет вид
x_=−x, y_=−y. (6.19)
Отражение (6.19) является произведением преобразований
x_=x, y_=−y, (6.20)
x_=−x, y_=y. (6.21)
В том случае, когда система координат прямоугольная, преобразо-
вание (6.20) является отражением относительно оси Ox, а преобразо-
вание (6.21)—относительно оси Oy.
Ось Ox является осью симметрии параболы (5.4), эллипсов (5.5)
и (6.16) и гипербол (5.6) и (6.18).
Ось Oy является осью симметрии эллипса (6.16) и пары противо-
положных гипербол (6.18).
Отражение относительно точек, приводимое к виду (6.19), и от-
ражение относительно прямых, приводимое к виду (6.20) и (6.21),
являются единственными инволютивными движениями евклидовой
плоскости, т. е. такими движениями, произведения которых на себя являются тождественными преобразованиями. Поэтому точки и прямые линии евклидовой плоскости являются образами симметрии этой плоскости.
С каждой параболой связан единственный образ симметрии евклидовой плоскости—ее ось, с каждым эллипсом и парой противоположных гипербол связано три образа симметрии этой плоскости — центр и две взаимно перпендикулярные оси.