Симметрии конических сечений

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

В предложении I30 доказывается, что коническое сечение не может иметь более одного центра. Центр эллипса и пары противоположных гипербол обладает тем свойством, что все диаметры эллипса и все поперечные диаметры гипербол делятся в нем пополам. Поэтому центр эллипса и пары противоположных гипербол является центром симметрии этих конических сечений, т. е. эти конические сечения переходят в себя при отражении относительно центра.

В системах координат, в которых эллипсы и гиперболы определяются уравнениями (6.16) и (6.18), центры этих конических сечений совпадают с началом координат, и отражение от центра имеет вид

x_=−x, y_=−y. (6.19)

Отражение (6.19) является произведением преобразований

x_=x, y_=−y, (6.20)

x_=−x, y_=y. (6.21)

В том случае, когда система координат прямоугольная, преобразо-

вание (6.20) является отражением относительно оси Ox, а преобразо-

вание (6.21)—относительно оси Oy.

Ось Ox является осью симметрии параболы (5.4), эллипсов (5.5)

и (6.16) и гипербол (5.6) и (6.18).

Ось Oy является осью симметрии эллипса (6.16) и пары противо-

положных гипербол (6.18).

Отражение относительно точек, приводимое к виду (6.19), и от-

ражение относительно прямых, приводимое к виду (6.20) и (6.21),

являются единственными инволютивными движениями евклидовой

плоскости, т. е. такими движениями, произведения которых на себя являются тождественными преобразованиями. Поэтому точки и прямые линии евклидовой плоскости являются образами симметрии этой плоскости.

С каждой параболой связан единственный образ симметрии евклидовой плоскости—ее ось, с каждым эллипсом и парой противоположных гипербол связано три образа симметрии этой плоскости — центр и две взаимно перпендикулярные оси.