Построение конических сечений
Для построения точки параболы с данной абсциссой x Аполлоний
рассматривает прямоугольник GKRF, сторонами которого являются
прямая сторона параболы GF=2p и абсцисса данной точки GK=
=x (рис. 25, а), и находит сторону y квадрата, равновеликого этому
прямоугольнику (рис. 26, а). Величина y равна ординате данной точки
параболы.
Для построения точки гиперболы с данной абсциссой x Аполлоний
рассматривает прямоугольник GKRF, сторонами которого являются
прямая сторона гиперболы GF=2p и абсцисса данной точки GK=
=x, соединяет точки H и F прямой линией и продолжает эту прямую
до пересечения с прямой KR в точке S, а затем строит прямоугольник
FRST со сторонами FR и RS (рис. 25, б). Из подобия прямоугольных
треугольников HGF и FTS с катетами GH=2a, GF=2p и с катетами
TS=x, FT вытекает, что FT=px/a. Поэтому площадь прямоуголь-
ника FKST равна правой части уравнения (5.6) гиперболы. Далее
Аполлоний находит сторону y квадрата, равновеликого прямоуголь-
нику GKST (рис. 26, б). Величина x равна ординате данной точки
гиперболы.
Для построения точки эллипса с данной абсциссой x Аполлоний
рассматривает прямоугольник GKRF, сторонами которого являются
прямая сторона эллипса GF=2p и абсцисса данной точки GK=x,
соединяет точки H и F прямой линией и находит точку S пересече-
ния прямых HF и KR, проводит из точки S прямую ST параллельно
линии GK до линии GF (рис. 25, в). Из подобия прямоугольных тре-
угольников HGF и FRT с катетами GH=2a, GF=2p и с катетами
RF=x и FT вытекает, что FT=px/a. Поэтому площадь прямоуголь-
ника FKST равна правой части уравнения (5.5) эллипса. Далее
Аполлоний находит сторону y квадрата, равновеликого прямоуголь-
нику GKST (рис. 26, в). Величина y равна ординате данной точки
эллипса.
Предложения I52—I60 являются задачами построения конических
сечений по некоторым прямолинейным отрезкам, заданным по вели-
чине и положению.
Выражение прямой стороны через углы, определяющие коническое сечение Формулы (6.2) и (6.5) позволяют выразить прямую сторону конического сечения через углы осевого треугольника ABC конуса и угол GIB между диаметром конического сечения и прямой BC. Обозначим углы при вершинах A, B и C осевого треугольника через 2α, γ и δ,
а угол GIB—через β (рис. 27, а—в).
В силу теоремы синусов плоской тригонометрии для треугольника
ABC получаем равенство
BC
sin 2α
= AC
sin γ
= AB
sin δ
. (6.8)
В случае параболы диаметр GI параллелен стороне AC, откуда
следует, что β=δ. Поэтому формула (6.2) равносильна формуле
2p
r
= sin2 2α
sin β sin γ
. (6.9)
В силу теоремы синусов плоской тригонометрии для треугольни-
ков ABJ и AJC (рис. 28, а, б) получаем равенства
AB
sin β
= AJ
sin γ
= BJ
sin(β+γ)
, (6.10)
AJ
sin δ
= AC
sin β
= JC
sin(β−δ)
. (6.11)
Поэтому формула (6.5) равносильна формуле
2a
2p
= sin γ sin δ
sin(β+γ) sin(β−δ)
. (6.12)
Сопряженные диаметры
и центры конических сечений
В предложении I15 Аполлоний доказывает, что прямая линия,
проходящая через середину диаметра эллипса в направлении ординат,
проведенных к этому диаметру, является диаметром эллипса, сопря-
женным с этим диаметром. Отсюда следует, что понятие сопряженных
диаметров является взаимным.
В предложении I16 Аполлоний доказывает, что прямая линия, про-
ходящая через середину поперечного диаметра двух противоположных
гипербол в направлении ординат, проведенных к этому диаметру, явля-
ется восставленным диаметром этих гипербол, сопряженным с первым
диаметром.
После предложения I16 Аполлоний приводит <Вторые определе-
ния>. В первом из этих определений Аполлоний называет середину
поперечной стороны конического сечения центром этого сечения и тем
самым распространяет на конические сечения понятие центра кру-
га. Здесь же Аполлоний называет отрезок поперечной стороны между
центром и вершиной конического сечения тем же термином, которым
Евклид называл радиус круга. В другом предложении Аполлоний до-
казывает, что в каждом коническом сечении, обладающем центрами,
все центры совпадают, и такое коническое сечение обладает единствен-
ным центром.
Далее Аполлоний вводит термин <второй диаметр> коническо-
го сечения, которым он называет отрезок диаметра, сопряженного с диаметром, содержащим поперечную сторону, и равный средней пропорциональной
величине между прямой и поперечной сто-
ронами конического сечения. Если попереч-
ная сторона конического сечения равна 2a,
а прямая сторона—2p, то средняя пропорци-
ональная величина между линиями 2a и 2p,
которую мы будем обозначать 2b, определя-
ется пропорцией
2a:2b=2b:2p, (6.13)
равносильной соотношению
p=b2
a
. (6.14)
Если в случае эллипса (5.5) и пары противоположных гипербол (5.6) перенести начало координат из вершины конического сечения в его центр, то для эллипса (рис. 29, а) это преобразование координат состоит в замене абсциссы x суммой x+a. Произведя эту замену в уравнении (5.5), мы получим уравнение
y2=2px+2pa−p
a
x2−2px−pa,
т. е.
y2=pa−p
a
x2. (6.15)
В силу соотношения (6.14) p/a=b2/a2. Разделив обе части уравнения (6.15) на b2, мы получим уравнение эллипса x2 a2+y2 b2 =1. (6.16)
Для пары противоположных гипербол (рис. 29, б) преобразование,
при котором начало координат переходит из вершины одной из гипер-
бол в центр, состоит в замене абсциссы x разностью x−a. Произведя
эту замену в уравнении (5.6), мы получим уравнение
y2=2px−2pa+p
a
x2−2px+pa,
т. е.
y2=p
a
x2+pa. (6.17)
В силу соотношения (6.14) здесь также p/a=b2/a2. Разделив обе части уравнения на b2, мы получим уравнение пары противоположных гипербол в виде
x2
a2
−y2
b2 =1. (6.18)
Осями координат в случае уравнений (6.17) и (6.18) являются два
сопряженных диавметра эллипса или гиперболы.
Уравнения (6.16) и (6.18) называются центральными уравнениями эллипса и пары противоположных гипербол. Осями координат в случае этих уравнений являются два сопряженных диаметра эллипса или противоположных гипербол.
В предложениях I41—I45 Аполлоний доказывает теоремы о равенстве площадей, многие из этих равенств равносильны уравнениям (6.16) и (6.18) эллипсов и пар противоположных гипербол.