Построение конических сечений

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Для построения точки параболы с данной абсциссой x Аполлоний

рассматривает прямоугольник GKRF, сторонами которого являются

прямая сторона параболы GF=2p и абсцисса данной точки GK=

=x (рис. 25, а), и находит сторону y квадрата, равновеликого этому

прямоугольнику (рис. 26, а). Величина y равна ординате данной точки

параболы.

Для построения точки гиперболы с данной абсциссой x Аполлоний

рассматривает прямоугольник GKRF, сторонами которого являются

прямая сторона гиперболы GF=2p и абсцисса данной точки GK=

=x, соединяет точки H и F прямой линией и продолжает эту прямую

до пересечения с прямой KR в точке S, а затем строит прямоугольник

FRST со сторонами FR и RS (рис. 25, б). Из подобия прямоугольных

треугольников HGF и FTS с катетами GH=2a, GF=2p и с катетами

TS=x, FT вытекает, что FT=px/a. Поэтому площадь прямоуголь-

ника FKST равна правой части уравнения (5.6) гиперболы. Далее

Аполлоний находит сторону y квадрата, равновеликого прямоуголь-

нику GKST (рис. 26, б). Величина x равна ординате данной точки

гиперболы.

Для построения точки эллипса с данной абсциссой x Аполлоний

рассматривает прямоугольник GKRF, сторонами которого являются

прямая сторона эллипса GF=2p и абсцисса данной точки GK=x,

соединяет точки H и F прямой линией и находит точку S пересече-

ния прямых HF и KR, проводит из точки S прямую ST параллельно

линии GK до линии GF (рис. 25, в). Из подобия прямоугольных тре-

угольников HGF и FRT с катетами GH=2a, GF=2p и с катетами

RF=x и FT вытекает, что FT=px/a. Поэтому площадь прямоуголь-

ника FKST равна правой части уравнения (5.5) эллипса. Далее

Аполлоний находит сторону y квадрата, равновеликого прямоуголь-

нику GKST (рис. 26, в). Величина y равна ординате данной точки

эллипса.

Предложения I52—I60 являются задачами построения конических

сечений по некоторым прямолинейным отрезкам, заданным по вели-

чине и положению.

Выражение прямой стороны через углы, определяющие коническое сечение Формулы (6.2) и (6.5) позволяют выразить прямую сторону конического сечения через углы осевого треугольника ABC конуса и угол GIB между диаметром конического сечения и прямой BC. Обозначим углы при вершинах A, B и C осевого треугольника через 2α, γ и δ,

а угол GIB—через β (рис. 27, а—в).

В силу теоремы синусов плоской тригонометрии для треугольника

ABC получаем равенство

BC

sin 2α

= AC

sin γ

= AB

sin δ

. (6.8)

В случае параболы диаметр GI параллелен стороне AC, откуда

следует, что β=δ. Поэтому формула (6.2) равносильна формуле

2p

r

= sin2 2α

sin β sin γ

. (6.9)

В силу теоремы синусов плоской тригонометрии для треугольни-

ков ABJ и AJC (рис. 28, а, б) получаем равенства

AB

sin β

= AJ

sin γ

= BJ

sin(β+γ)

, (6.10)

AJ

sin δ

= AC

sin β

= JC

sin(βδ)

. (6.11)

Поэтому формула (6.5) равносильна формуле

2a

2p

= sin γ sin δ

sin(β+γ) sin(βδ)

. (6.12)

Сопряженные диаметры

и центры конических сечений

В предложении I15 Аполлоний доказывает, что прямая линия,

проходящая через середину диаметра эллипса в направлении ординат,

проведенных к этому диаметру, является диаметром эллипса, сопря-

женным с этим диаметром. Отсюда следует, что понятие сопряженных

диаметров является взаимным.

В предложении I16 Аполлоний доказывает, что прямая линия, про-

ходящая через середину поперечного диаметра двух противоположных

гипербол в направлении ординат, проведенных к этому диаметру, явля-

ется восставленным диаметром этих гипербол, сопряженным с первым

диаметром.

После предложения I16 Аполлоний приводит <Вторые определе-

ния>. В первом из этих определений Аполлоний называет середину

поперечной стороны конического сечения центром этого сечения и тем

самым распространяет на конические сечения понятие центра кру-

га. Здесь же Аполлоний называет отрезок поперечной стороны между

центром и вершиной конического сечения тем же термином, которым

Евклид называл радиус круга. В другом предложении Аполлоний до-

казывает, что в каждом коническом сечении, обладающем центрами,

все центры совпадают, и такое коническое сечение обладает единствен-

ным центром.

Далее Аполлоний вводит термин <второй диаметр> коническо-

го сечения, которым он называет отрезок диаметра, сопряженного с диаметром, содержащим поперечную сторону, и равный средней пропорциональной

величине между прямой и поперечной сто-

ронами конического сечения. Если попереч-

ная сторона конического сечения равна 2a,

а прямая сторона—2p, то средняя пропорци-

ональная величина между линиями 2a и 2p,

которую мы будем обозначать 2b, определя-

ется пропорцией

2a:2b=2b:2p, (6.13)

равносильной соотношению

p=b2

a

. (6.14)

Если в случае эллипса (5.5) и пары противоположных гипербол (5.6) перенести начало координат из вершины конического сечения в его центр, то для эллипса (рис. 29, а) это преобразование координат состоит в замене абсциссы x суммой x+a. Произведя эту замену в уравнении (5.5), мы получим уравнение

y2=2px+2pa−p

a

x2−2px−pa,

т. е.

y2=pa−p

a

x2. (6.15)

В силу соотношения (6.14) p/a=b2/a2. Разделив обе части уравнения (6.15) на b2, мы получим уравнение эллипса x2 a2+y2 b2 =1. (6.16)

Для пары противоположных гипербол (рис. 29, б) преобразование,

при котором начало координат переходит из вершины одной из гипер-

бол в центр, состоит в замене абсциссы x разностью x−a. Произведя

эту замену в уравнении (5.6), мы получим уравнение

y2=2px−2pa+p

a

x2−2px+pa,

т. е.

y2=p

a

x2+pa. (6.17)

В силу соотношения (6.14) здесь также p/a=b2/a2. Разделив обе части уравнения на b2, мы получим уравнение пары противоположных гипербол в виде

x2

a2

−y2

b2 =1. (6.18)

Осями координат в случае уравнений (6.17) и (6.18) являются два

сопряженных диавметра эллипса или гиперболы.

Уравнения (6.16) и (6.18) называются центральными уравнениями эллипса и пары противоположных гипербол. Осями координат в случае этих уравнений являются два сопряженных диаметра эллипса или противоположных гипербол.

В предложениях I41—I45 Аполлоний доказывает теоремы о равенстве площадей, многие из этих равенств равносильны уравнениям (6.16) и (6.18) эллипсов и пар противоположных гипербол.