Уравнение эллипса

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

В предложении I13 Аполлоний определяет поперечную сторону

эллипса как его диаметр GH и прямую сторону эллипса точно так же,

как прямую сторону гиперболы [25, т. 1, с. 240], т. е. пропорцией (6.5).

Аполлоний получает уравнение (5.5) эллипса следующим обра-

зом. Пусть L—произвольная точка эллипса GLH (рис. 24), из точки L

проводится прямая LK параллельно прямой DE до диаметра GH

эллипса. Через точку K диаметра GH проводится прямая MN парал-

лельно линии BC до сторон AB и AC треугольника ABC. Плоскость

LKM параллельна плоскости основания конуса, поэтому эта плоскость высекает из поверхности конуса окружность MLN, и имеет место ра-

венство (6.3).

Из соотношения (6.5) в силу предложения VI23 <Начал> Евкли-

да вытекает, что отношение GH/GF составлено из отношений AJ/BJ

и AJ/JC. В силу подобия треугольников ABJ и GMK и треугольни-

ков AGC и HKN отношение GH/GF составлено также из отношений

GK/MK и HK/KN, т. е. из отношений GK/MK и (GH−GK)/KN.

В силу предложения VI23 <Начал> имеет место пропорция

GH

GF

=GKGH−GK2

MKKN

,

т. е. в силу равенства (6.3)

GH

GF

=GKGH−GK2

KL2 . (6.7)

Обозначим прямую и поперечную стороны эллипса GF=2p и GH=

=2a и координаты точек эллипса GK=x и KL=y. Поэтому пропорцию

(6.7) можно записать в виде

2a

2p

=2ax−x2

y2 ,

что равносильно уравнению (5.5) эллипса.

В предложении I13 угол BAC может не быть острым. Поэтому

Аполлоний заменил старое название конического сечения (5.5) <сече-

ние остроугольного конуса> новым. Поскольку в силу этого уравнения квадрат ординаты у всякой точки этой кривой равновелик прямоугольнику, <приложенному> к отрезку 2p, уменьшенному на отрезок xp/a, и имеющему высоту, равную абсциссе x этой точки, Аполлоний назвал это коническое сечение <недостаток> (elleipsis), откуда произошел термин <эллипс>.

Уравнения (5.4), (5.5) и (5.6) Аполлония также можно записать

в единообразной форме (5.12). Величину e, входящую в это уравне-

ние и определяемую для эллипса и гиперболы соотношениями (5.10)

и (5.11), мы также будем называть эксцентриситетом конического се-

чения. Эта величина, как и величины a и p, зависит от того диаметра

конического сечения, который принимается за ось абсцисс уравнения

этого конического сечения.