Уравнение эллипса
В предложении I13 Аполлоний определяет поперечную сторону
эллипса как его диаметр GH и прямую сторону эллипса точно так же,
как прямую сторону гиперболы [25, т. 1, с. 240], т. е. пропорцией (6.5).
Аполлоний получает уравнение (5.5) эллипса следующим обра-
зом. Пусть L—произвольная точка эллипса GLH (рис. 24), из точки L
проводится прямая LK параллельно прямой DE до диаметра GH
эллипса. Через точку K диаметра GH проводится прямая MN парал-
лельно линии BC до сторон AB и AC треугольника ABC. Плоскость
LKM параллельна плоскости основания конуса, поэтому эта плоскость высекает из поверхности конуса окружность MLN, и имеет место ра-
венство (6.3).
Из соотношения (6.5) в силу предложения VI23 <Начал> Евкли-
да вытекает, что отношение GH/GF составлено из отношений AJ/BJ
и AJ/JC. В силу подобия треугольников ABJ и GMK и треугольни-
ков AGC и HKN отношение GH/GF составлено также из отношений
GK/MK и HK/KN, т. е. из отношений GK/MK и (GH−GK)/KN.
В силу предложения VI23 <Начал> имеет место пропорция
GH
GF
=GK・GH−GK2
MK・KN
,
т. е. в силу равенства (6.3)
GH
GF
=GK・GH−GK2
KL2 . (6.7)
Обозначим прямую и поперечную стороны эллипса GF=2p и GH=
=2a и координаты точек эллипса GK=x и KL=y. Поэтому пропорцию
(6.7) можно записать в виде
2a
2p
=2ax−x2
y2 ,
что равносильно уравнению (5.5) эллипса.
В предложении I13 угол BAC может не быть острым. Поэтому
Аполлоний заменил старое название конического сечения (5.5) <сече-
ние остроугольного конуса> новым. Поскольку в силу этого уравнения квадрат ординаты у всякой точки этой кривой равновелик прямоугольнику, <приложенному> к отрезку 2p, уменьшенному на отрезок xp/a, и имеющему высоту, равную абсциссе x этой точки, Аполлоний назвал это коническое сечение <недостаток> (elleipsis), откуда произошел термин <эллипс>.
Уравнения (5.4), (5.5) и (5.6) Аполлония также можно записать
в единообразной форме (5.12). Величину e, входящую в это уравне-
ние и определяемую для эллипса и гиперболы соотношениями (5.10)
и (5.11), мы также будем называть эксцентриситетом конического се-
чения. Эта величина, как и величины a и p, зависит от того диаметра
конического сечения, который принимается за ось абсцисс уравнения
этого конического сечения.