Уравнение гиперболы

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

В предложении I12 Аполлоний определяет поперечную сторону

гиперболы как продолжение GH ее диаметра GI до второй полости ко-

нической поверхности, а для определения прямой стороны гиперболы

он проводит прямую AJ параллельно диаметру GI до стороны BC тре-

угольника ABC (рис. 23) и определяет прямую сторону гиперболы GF

следующим образом. <Пусть линия GF будет проведена под прямым

углом к диаметру GI, и пусть ,,над AJ“ относится к ,,под BJC“ как GH

к GF> [25, т. 1, с. 236], т. е. линия GF определяется пропорцией

GH

GF

= AJ2

BJJC

. (6.5)

Аполлоний получает уравнение (5.6) следующим образом. Пусть

L—произвольная точка гиперболы DGE, из точки L проводится пря-

мая LK параллельно прямой DE до диаметра GI гиперболы. Через

точку K диаметра GI проводится прямая MN параллельно линии BC

до сторон AB и AC треугольника ABC. Плоскость LKM также парал-

лельна плоскости основания конуса, поэтому эта плоскость высекает

из поверхности конуса окружность LMN, и здесь также имеет место

равенство (6.3).

Из соотношения (6.5) в силу предложения VI23 <Начал> Евкли-

да вытекает, что отношение GH/GF составлено из отношений AJ/BJ

и AJ/JC. Из подобия треугольников ABJ и GMN вытекает пропор-

ция AJ/BJ=GK/MK. Из подобия треугольников AJC и HKN вытекает

пропорция AJ/JC=HK/KN. Отсюда следует, что отношение GH/GF

составлено также из отношений GK/MK и HK/KN, т. е. из отнош е-

ний GK/MK и (HG+GK)/KN.

В силу предложения VI23 <Начал> Евклида имеет место пропорция

GH

GF

=GK2+GKGH

MKKN

,

т. е. в силу равенства (6.3)

GH

GF

=GK2+GKGH

KL2 . (6.6)

Обозначим прямую и поперечную стороны гиперболы GF=2p

и GH=2a и координаты точки гиперболы GK=x и KL=y. Поэтому

пропорцию (6.6) можно переписать в виде

2a

2p

=x2+2ax

y2 ,

что равносильно уравнению (5.6). В предложении I12 угол BAC может

не быть тупым. Поэтому Аполлоний заменил старое название кониче-

ского сечения (5.6) <сечение тупоугольного конуса> новым. Поскольку

в силу этого уравнения квадрат ординаты всякой точки этой кривой

равновелик прямоугольнику, <приложенному> к отрезку 2p, увеличен-

ному на отрезок xp/a, и имеющему высоту, равную абсциссе x этой

точки, Аполлоний назвал это коническое сечение <избыток> (hyperbole),

откуда произошел термин <гипербола>.

В предложении I14 Аполлоний доказывает, что пара противопо-

ложных гипербол определяется тем же уравнением (5.6).