Уравнение гиперболы
В предложении I12 Аполлоний определяет поперечную сторону
гиперболы как продолжение GH ее диаметра GI до второй полости ко-
нической поверхности, а для определения прямой стороны гиперболы
он проводит прямую AJ параллельно диаметру GI до стороны BC тре-
угольника ABC (рис. 23) и определяет прямую сторону гиперболы GF
следующим образом. <Пусть линия GF будет проведена под прямым
углом к диаметру GI, и пусть ,,над AJ“ относится к ,,под BJC“ как GH
к GF> [25, т. 1, с. 236], т. е. линия GF определяется пропорцией
GH
GF
= AJ2
BJ・JC
. (6.5)
Аполлоний получает уравнение (5.6) следующим образом. Пусть
L—произвольная точка гиперболы DGE, из точки L проводится пря-
мая LK параллельно прямой DE до диаметра GI гиперболы. Через
точку K диаметра GI проводится прямая MN параллельно линии BC
до сторон AB и AC треугольника ABC. Плоскость LKM также парал-
лельна плоскости основания конуса, поэтому эта плоскость высекает
из поверхности конуса окружность LMN, и здесь также имеет место
равенство (6.3).
Из соотношения (6.5) в силу предложения VI23 <Начал> Евкли-
да вытекает, что отношение GH/GF составлено из отношений AJ/BJ
и AJ/JC. Из подобия треугольников ABJ и GMN вытекает пропор-
ция AJ/BJ=GK/MK. Из подобия треугольников AJC и HKN вытекает
пропорция AJ/JC=HK/KN. Отсюда следует, что отношение GH/GF
составлено также из отношений GK/MK и HK/KN, т. е. из отнош е-
ний GK/MK и (HG+GK)/KN.
В силу предложения VI23 <Начал> Евклида имеет место пропорция
GH
GF
=GK2+GK・GH
MK・KN
,
т. е. в силу равенства (6.3)
GH
GF
=GK2+GK・GH
KL2 . (6.6)
Обозначим прямую и поперечную стороны гиперболы GF=2p
и GH=2a и координаты точки гиперболы GK=x и KL=y. Поэтому
пропорцию (6.6) можно переписать в виде
2a
2p
=x2+2ax
y2 ,
что равносильно уравнению (5.6). В предложении I12 угол BAC может
не быть тупым. Поэтому Аполлоний заменил старое название кониче-
ского сечения (5.6) <сечение тупоугольного конуса> новым. Поскольку
в силу этого уравнения квадрат ординаты всякой точки этой кривой
равновелик прямоугольнику, <приложенному> к отрезку 2p, увеличен-
ному на отрезок xp/a, и имеющему высоту, равную абсциссе x этой
точки, Аполлоний назвал это коническое сечение <избыток> (hyperbole),
откуда произошел термин <гипербола>.
В предложении I14 Аполлоний доказывает, что пара противопо-
ложных гипербол определяется тем же уравнением (5.6).