Уравнение параболы
В предложении I11 Аполлоний определяет прямую сторону параболы следующим образом. <Проведи линию GF под прямым углом
к линии GI и пусть она будет такой, что ,,на BC“ относится к ,,под
BAC“ как GF к GA> [25, т. 1,
с. 232], т. е. линия GF опреде-
ляется пропорцией
GF
GA
= BC2
BA・AC
. (6.2)
Аполлоний получает уравнение (5.4) параболы следующим образом. Если L—произвольная точка параболы DGE (рис. 22), из точки L проводится прямая LK параллельно прямой DE до диаметра GI параболы.
Через точку K диаметра проводится прямая MN параллельно линии BC до сторон AB и AC треугольника ABC. Плоскость LKM параллельна плоскости основания конуса, поэтому эта плоскость
высекает из поверхности конуса окружность LMN. В силу предложения II14 <Начал> Евклида имеет место равенство KL2=MK・KN. (6.3)
Из соотношения (6.2) в силу предложения VI23 <Начал> Евкли-
да вытекает, что отношение GF/GA составлено из отношений BC/BA
и BC/AC.
Из точки G проведем параллельно линии BC прямую GP до пря-
мой AC. Тогда треугольник AGP будет подобен треугольнику ABC,
и имеет место пропорция BC/AB=GP/AG. Отрезок GP равен KN, следовательно, BC AB =KN
AG
.
Из подобия треугольников ABC и GMK вытекает пропорция
BC
AB
=MK
GK
.
Поэтому отношение GF/GA составлено также из отношений
MK/GK и KN/AG. Поэтому в силу предложения VI23 <Начал> имеет
место пропорция
GF
GA
=MK・KN
GK・AG
.
В силу равенства (6.3) имеет место также пропорция
GF
GA
= KL2
GK・AG
. (6.4)
Обозначим прямую сторону параболы GF через 2p, а отрезок GA—
через r. Отрезки GK и KL являются абсциссой x и ординатой y точки L
параболы. Поэтому пропорцию (6.4) можно переписать в виде
2p
r
=y2
xr
,
что равносильно уравнению (5.4). В предложении I11 угол BAC может не быть прямым. Поэтому Аполлоний заменил старое название конического сечения (5.4) <сечение прямоугольного конуса> новым.
Поскольку в силу этого уравнения квадрат ординаты y всякой точки
этой кривой равновелик прямоугольнику, приложенному к отрезку 2p
и имеющему высоту, равную абсциссе x этой точки, Аполлоний назвал
это коническое сечение <приложением> (parabole), откуда произошел
термин <парабола>.