Уравнение параболы

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

В предложении I11 Аполлоний определяет прямую сторону параболы следующим образом. <Проведи линию GF под прямым углом

к линии GI и пусть она будет такой, что ,,на BC“ относится к ,,под

BAC“ как GF к GA> [25, т. 1,

с. 232], т. е. линия GF опреде-

ляется пропорцией

GF

GA

= BC2

BAAC

. (6.2)

Аполлоний получает уравнение (5.4) параболы следующим образом. Если L—произвольная точка параболы DGE (рис. 22), из точки L проводится прямая LK параллельно прямой DE до диаметра GI параболы.

Через точку K диаметра проводится прямая MN параллельно линии BC до сторон AB и AC треугольника ABC. Плоскость LKM параллельна плоскости основания конуса, поэтому эта плоскость

высекает из поверхности конуса окружность LMN. В силу предложения II14 <Начал> Евклида имеет место равенство KL2=MKKN. (6.3)

Из соотношения (6.2) в силу предложения VI23 <Начал> Евкли-

да вытекает, что отношение GF/GA составлено из отношений BC/BA

и BC/AC.

Из точки G проведем параллельно линии BC прямую GP до пря-

мой AC. Тогда треугольник AGP будет подобен треугольнику ABC,

и имеет место пропорция BC/AB=GP/AG. Отрезок GP равен KN, следовательно, BC AB  =KN

AG

.

Из подобия треугольников ABC и GMK вытекает пропорция

BC

AB

=MK

GK

.

Поэтому отношение GF/GA составлено также из отношений

MK/GK и KN/AG. Поэтому в силу предложения VI23 <Начал> имеет

место пропорция

GF

GA

=MKKN

GKAG

.

В силу равенства (6.3) имеет место также пропорция

GF

GA

= KL2

GKAG

. (6.4)

Обозначим прямую сторону параболы GF через 2p, а отрезок GA—

через r. Отрезки GK и KL являются абсциссой x и ординатой y точки L

параболы. Поэтому пропорцию (6.4) можно переписать в виде

2p

r

=y2

xr

,

что равносильно уравнению (5.4). В предложении I11 угол BAC может не быть прямым. Поэтому Аполлоний заменил старое название конического сечения (5.4) <сечение прямоугольного конуса> новым.

Поскольку в силу этого уравнения квадрат ординаты y всякой точки

этой кривой равновелик прямоугольнику, приложенному к отрезку 2p

и имеющему высоту, равную абсциссе x этой точки, Аполлоний назвал

это коническое сечение <приложением> (parabole), откуда произошел

термин <парабола>.