Координатный угол

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Обозначим угол между плоскостью конического сечения и плоскостью основания конуса через β, а угол между плоскостью осевого

треугольника конуса и плоскостью, пересекающей основание конуса

по линии BC под прямым углом, через λ. Направим три взаимно ортогональных единичных вектора

−→i ,

−→j ,

−→k следующим образом:

−→i —

по прямой BC,

−→j —по прямой DE,

−→k —перпендикулярно плоскости

основания конуса, а также единичный вектор

−→

h по оси конуса и еди-

ничный вектор

−→l по диаметру IG конического сечения (рис. 21).

Векторы

−→

h и

−→l можно записать в виде

−→

h=

−→j sin λ+

−→k cos λ,

−→l =

=−−→i cos β+

−→

h sin β=−−→i cos β+(

−→j sin λ+

−→

k cos λ) sin β. Поэтому косинус угла ω, равный скалярному произведению

−→l −→j , запишется как

cos ω=

−→l −→j =sin λ sin β. (6.1)

Формула (6.1) показывает, что система координат Аполлония является прямоугольной только в тех случаях, когда угол β или λ равен нулю.

В случае, когда β=0◦, плоскость конического сечения параллельна плоскости основания конуса, и коническое сечение является окружностью, где диаметры перпендикулярны хордам, которые они делят пополам.

В случае, когда λ=0◦, вектор −→ h

совпадает с вектором

−→

k, и круговой ко-

нус является прямым. Векторы

−→l и

−→j

ортогональны также в случае, когда плоскость конического сечения

антипараллельна плоскости основания конуса, так как обе эти плоско-

сти перпендикулярны плоскости осевого треугольника, и коническое

сечение является окружностью.

Прямая и поперечные стороны

Уравнения конических сечений, найденные Аполлонием, выра-

жаются теми же формулами (5.4), (5.5), (5.6), что и у его предше-

ственников, однако геометрический смысл коэффициентов в уравнени-

ях Аполлония отличается от геометрического смысла коэффициентов

в уравнениях его предшественников.

Аполлоний называл линию 2p <прямой стороной> (orthia pleura,

в латинских переводах latus rectum), так как эта линия, возможно,

уменьшенная или увеличенная на некоторый отрезок, является одной

из сторон прямоугольника, равновеликого квадрату ординаты неко-

торой точки конического сечения. Аполлоний изображал линию 2p

отрезком GF, перпендикулярным диаметру GI.

Аполлоний называл линию 2a <поперечной стороной> (plagia pleura,

в латинских переводах latus transversum), так как эта линия,

изображаемая на рис. 19, в, г и рис. 20, б, в отрезками GH, является

диаметром эллипса или двух противоположных гипербол.