Глава 5 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Конические сечения Менехма, Аристея и Евклида

Конические сечения впервые появились в работах греческого ма-

тематика IV в. до н. э. Менехма, который с их помощью решил задачу

удвоения куба, о которой мы говорили в главе 1.

В VII книге <Математического собрания> Папп писал: <Аполлоний

дополнил четыре книги Евклида о конических сечениях и доба-

вил к ним четыре другие, образуя восемь книг ,,Конических сече-

ний“. Аристей, который написал пять книг ,,Телесных геометрических

мест“, посвященных коническим сечениям, и [другие] предшественни-

ки Аполлония называли первую из трех конических кривых сечением

остроугольного конуса, вторую—[сечением] прямоугольного [кону-

са], а третью—[сечением] тупоугольного [конуса]> [50, с. 503; 51,

с. 114—115].

Аристей был старшим современником Евклида, его сочинение

называлось <Телесные геометрические места> (Topoi stereoi). Антич-

ные математики называли <плоскими геометрическими местами> пря-

мые и окружности, которые проводятся с помощью линейки и цир-

куля, а <телесными геометрическими местами>—конические сече-

ния, возникающие при пересечении поверхности кругового конуса

с плоскостью.

Сочинения Менехма, Аристея и Евклида о конических сечениях

до нас не дошли. Те же названия конических сечений применял и Ар-

химед. Под сечением прямоугольного конуса имелась в виду парабола,

под сечением остроугольного конуса—эллипс, под сечением тупо-

угольного конуса—одна из двух ветвей гиперболы. Предшественники

Аполлония определяли конические сечения как сечения поверхностей

прямых круговых конусов плоскостями, перпендикулярными к одной

из их прямолинейных образующих.

В главе 2 мы упоминали также, что в <Началах> Евклида конус

определялся как тело, образуемое вращением прямоугольного тре-

угольника вокруг одного из его катетов.

На рис. 14, а—в изображены сечения прямых круговых ко-

нусов с вершинами A и диаметрами оснований BC плоскостями,

_____32

перпендикулярными прямолинейным образующим AC этих конусов, пересекающими их в точках G. Плоскости конических сечений пересекают плоскости ABC по прямым GK, которые являются осями симметрии конических сечений. Из произвольных точек L сечений опустим перпендикуляры LK на их оси симметрии. Обозначим отрезки AG, GK и KL, соответственно, r, x и y. Эти три отрезка являются

взаимно перпендикулярными ребрами

прямоугольных параллелепипедов. По-

этому во всех трех случаях

AL2=r2+x2+y2.

Отложим на прямых AC отрез-

ки AM, равные AL. В случае параболы

отрезок GM равен отрезку GK=x, по-

этому AM=r+x и

r2+x2+y2=(r+x)2=r2+2rx+x2,

т. е.

y2=2rx. (5.1)

Уравнение (5.1) является уравне-

нием параболы в системе прямоуголь-

ных координат, осями которой служат

ось симметрии параболы и касательная

в ее вершине (рис. 15, а).

Менехм решил задачу об удвоении

куба, равносильную уравнению (1.1),

с помощью пересечения двух парабол

x2=ay и y2=2ax (рис. 16). Решение x

уравнения совпадает с абсциссой точки

пересечения этих двух парабол.

Обозначим на рис. 14, а—в углы

между осями конусов и их прямоли-

нейными образующими через α. В случае параболы α=45◦, в случае

эллипса α<45◦, в случае гиперболы 45◦<α<90◦.

Обозначим отрезки GH прямых GK между линиями AC и AB

(рис. 14, б) и между линией AC и продолжением линии AB (рис. 14, в)

через 2a. В современной геометрии эти отрезки называются большой

осью эллипса и вещественной осью гиперболы.

В треугольниках AGH углы AGH —прямые, угол GAH в случае эллипса равен 2α,

а в случае гиперболы равен π−2α. Поэтому

в случае эллипса

2a

r

=tg 2α= 2 tg α

1−tg2 α

,

а в случае гиперболы

2a

r

=tg(π−2α)= 2 tg α

tg2 α−1

.

В треугольниках GKM углы KGM —пря-

мые, а углы GKM равны α. Поэтому GM=

=x tg α, и в случае эллипса и гиперболы

r2+x2+y2=(r+x tg α)2=

=r2+2xr tg α+x2 tg2 α,

т. е.

y2=2xr tg α+x2(tg2 α−1).

Последнее уравнение в случае эллипса

можно переписать в виде

y2=2xr tg α−x2r tg α

a

, (5.2)

а в случае гиперболы—в виде

y2=2xr tg α+x2r tg α

a

. (5.3)

Полагая в формулах (5.1)—(5.3) r tg α=p, мы можем переписать

эти формулы в виде

y2=2px, (5.4)

y2=2px−p

a

x2, (5.5)

y2=2px+p

a

x2. (5.6)

Величина p в современной геометрии называется параметром конического сечения.

Величина x—корень уравнения (2.2)—также является абсциссой

точки пересечения двух парабол x2=ay и y2=bx.

Уравнение (5.5) является уравнением эллипса в системе прямо-

угольных координат, осями которой являются ось симметрии эллипса,

содержащая его большую ось, и касательная к эллипсу в левом конце

большой оси (рис. 15, б). Уравнение (5.6) является уравнением ги-

перболы в системе прямоугольных координат, осями которой являются

ось симметрии гиперболы, содержащая ее вещественную ось, и каса-

тельная к гиперболе в правом конце вещественной оси (рис. 15, в).

На рис. 16 изображено решение Менехма задачи об удвоении куба

с помощью пересечения двух парабол.

Под гиперболой Менехм, Евклид и Архимед имели в виду одну

ветвь гиперболы. Архимед и, по-видимому, Евклид называли асим-

птоты гиперболы <прямыми, ближайшими к сечению тупоугольно-

го конуса>, и середину O оси GH гиперболы—точкой пересечения

этих прямых. Точка O оси GH эллипса является центром симметрии

эллипса.

В случае, когда малая полуось эллипса и мнимая полуось гипер-

болы равны b, параметр p равен b2/a.

Поэтому уравнения (5.5) и (5.6) можно переписать в виде урав-

нений

y2=b2

a2 x(2a−x), (5.7)

y2=b2

a2 x(2a+x). (5.8)

Эти уравнения называются <уравнениями эллипса и гиперболы

с двумя абсциссами> и могут быть записаны в виде

y2=b2

a2 x1x2, (5.9)

где в обоих случаях x1=x, в случае эллипса x2=2a−x, а в случае

гиперболы x2=2a+x.

В случае эллипса уравнение (5.9) можно получить из уравнения

(2.1) окружности радиуса a сжатием ее к горизонтальному диаме-

тру в отношении b/a. Гипербола при a=b называется равносторонней

гиперболой и определяется тем же уравнением (2.1). В случае произ-

вольной гиперболы уравнение (5.9) может быть получено из уравнения

(2.1) равносторонней гиперболы сжатием к ее вещественной оси или

растяжением от этой оси в отношении b/a.

Предшественники Аполлония обычно определяли эллипс и гипер-

болу <уравнениями с двумя абсциссами>.

Папп в комментариях к сочинению Евклида <Геометрические ме-

ста на поверхностях> писал: <Пусть прямая AB задана по положению, пусть дана точка C в той же плоскости. Проведем прямую DC, опу-

стим перпендикуляр DE [на прямую AB] и рассмотрим отношение

прямой CD к прямой DE. Я утверждаю, что точка D находится на ко-

ническом сечении, которое является параболой, если это отношение

равной величины к равной, эллипсом, если это отношение меньшей

величины к большей, и гиперболой, если это отношение большей ве-

личины к меньшей> [50, с. 801; 51, с. 368—369]. Эти слова Паппа

означают, что конические сечения являются геометрическими местами

точек, отношения расстояний от которых до данной точки и до данной

прямой постоянны. По-видимому, эти слова являются комментариями

к некоторым теоремам о конических сечениях, скорее всего, к пред-

ложению о том, что парабола является геометрическим местом точек,

равноотстоящих от некоторой точки и от некоторой прямой.

В современной геометрии точка C и прямая AB называются

фокусом и директрисой конического сечения, а отношение CD/DE

расстояний точек сечения от фокуса к их расстояниям от директрисы

называется эксцентриситетом конического сечения и обозначается e.

Эксцентриситет e эллипса связан с коэффициентами a и p уравне-

ния (5.5) соотношением

e2=1−p

a

. (5.10)

Эксцентриситет e гиперболы связан с коэффициентами a и p урав-

нения (5.6) соотношением

e2=p

a

+1. (5.11)

Поэтому уравнения (5.4), (5.5) и (5.6) можно переписать в виде

единого уравнения

y2=2px+(e2−1)x2. (5.12)

В случае окружности e=0, в случае эллипса 0<e<1, в случае

параболы e=1, в случае гиперболы e>1.

Конические сечения Архимеда

Архимед называл конические сечения теми же терминами, что

и другие предшественники Аполлония, но в русских переводах сочи-

нений Архимеда их заменяли современными терминами.

Архимед в предложении I4 сочинения <О коноидах и сфероидах>,

рассматривая эллипс с большой и малой полуосями a и b как резуль-

тат сжатия окружности радиуса a к ее диаметру (рис. 17, а), доказал,

что площадь фигуры, ограниченной этим эллипсом, равна πab. В <Ква-

дратуре сечения прямоугольного конуса> Архимед вычислил площадь

сегмента параболы, ограниченного хордой BC (рис. 17, б), и нашел, что эта площадь равна 4/3 площади треугольника ABC, вершина A которого является точкой касания прямой параллельной хорде BC. В современной терминологии точка A называется концом диаметра параболы, пересекающего хорду BC в ее середине. Архимед рассматривал также поверхности, образуемые вращением эллипса, параболы и гиперболы вокругосей их симметрии (рис. 18, а—в).

Первую из этих поверхностей Архимед называл <сфероидом>, т. е. Похожим на сферу, вторую и третью—<коноидами>, т. е. похожими на конус, причем поверхность вращения сечения прямоугольного конуса называл <прямоугольным коноидом>, а поверхность вращения сечения тупоугольного конуса—<тупоугольным коноидом>. Современные математики называют сфероиды Архимеда эллипсоидами вращения, прямоугольные коноиды—параболоидами вращения, а тупоугольные коноиды—полостями двуполостных гиперболоидов вращения. Архимед различал вытянутые и сплющенные сфероиды.

В сочинении <О коноидах и сфероидах> Архимед вычислил объемы некоторых сегментов коноидов и сфероидов. В частности, он нашел, что объем сегмента сфероида, ограниченного его поверхно-

стью и плоскостью, перпендикулярной оси вращения, которая делит

эту ось пополам, равен удвоенному объему прямого кругового конуса,

вписанного в этот сегмент. Это равносильно тому, что для сферои-

дов, полученных вращением эллипса с полуосями a и b, объем тела,

ограниченного вытянутым сфероидом, равен 4πab2/3, а объем тела,

ограниченного сплющенным сфероидом, равен 4πa2b/3.

Архимед доказал также, что объем сегмента прямоугольного коно-

ида, ограниченного его поверхностью и плоскостью, перпендикулярной

его оси, в полтора раза больше объема прямого кругового конуса,

вписанного в этот сегмент. Архимед нашел, что объем сегмента ту-

поугольного коноида, ограниченного его поверхностью и плоскостью,

перпендикулярной его оси, относится к объему вписанного в него

прямого кругового конуса как h+3a

h+2a

, где h—высота сегмента, a—

37

вещественная полуось гиперболы, вращение которой образует коноид.

В предложении I8 сочинения <О коноидах и сфе-

роидах> Архимед рассматривал тело, ограниченное плос-

костью эллипса и прямыми, соединяющими точки этого

эллипса с некоторой точкой перпендикуляра, восставлен-

ного к плоскости эллипса в центре его симметрии. Архи-

мед доказал, что поверхность этого эллиптического конуса

является также поверхностью наклонного кругового ко-

нуса, который поэтому обладает двумя плоскостями сим-

метрии, проходящими через вершину конуса и оси сим-

метрии эллипса. Симметрии наклонного кругового конуса

впоследствии изучались Аполлонием в предложении I5

<Конических сечений>.

Конические сечения Аполлония

В предисловии к I книге <Конических сечений>, обращенном к Евдему Пергамскому, Аполлоний дал краткий обзор всех восьми книг своего труда. <Четыре первые из этих восьми книг посвящены изложению начал [теории]. Первая книга содержит способ

получения трех сечений и ,,противоположных гипербол“, а также их

основные свойства, изложенные более полным и более общим спо-

собом, чем у других писавших об этом. Вторая книга—о свойствах

диаметров и осей сечений, асимптот и прочего необходимого для об-

суждений. Из этой книги ты узнаешь, что я называю диаметрами

и осями. Третья книга содержит много замечательных теорем, полез-

ных для построения телесных геометрических мест и для определения

возможностей решений. Большая часть самых прекрасных из этих

теорем являются новыми. Из этих теорем видно, что решение Ев-

клида задачи о ,,геометрическом месте к трем и четырем прямым“

было случайным и не совсем удачным, довести эту задачу до кон-

ца было невозможно без моих новых открытий. В четвертой книге

рассматривается, сколькими способами конические сечения пересека-

ются между собой и с окружностью круга. Эта книга содержит также

то, что не было известно ни одному из моих предшественников,

а именно, во скольких точках две противоположные гиперболы мо-

гут пересекаться одним коническим сечением, окружностью круга или

двумя противоположными гиперболами. Остальные книги посвящены

дальнейшему развитию теории. Одна из них [пятая] более подроб-

но рассматривает минимумы и максимумы, другая [шестая]—равные

и подобные конические сечения, следующая [седьмая] рассматривает

теоремы, определяющие возможности решений, и последняя [восьмая]

содержит решения задач, определенные [теоремами предыдущей кни-

ги]> [25, т. 1, с. 194—196].

Под <тремя сечениями> здесь имеются в виду парабола, эллипс

и одна ветвь гиперболы, под <противоположными гиперболами>—обе

ветви гиперболы. О геометрических местах к трем и четырем прямым

мы будем говорить в главе 6.

В начале I книги <Конических сечений> Аполлония приводят-

ся восемь <первых определений>. В первых трех из них определяется

коническая поверхность как поверхность, образованная прямыми ли-

ниями, проходящими через фиксированную точку и точки окружности,

плоскость которой не проходит через эту точку. Фиксированная точка

называется вершиной конической поверхности, а круг, ограниченный

окружностью,—основанием этой поверхности. Прямая, соединяющая

вершину с центром основания, называется осью поверхности. Прямые,

образующие коническую поверхность, продолжаются в обе стороны.

Тело, ограниченное конической поверхностью и ее основанием,

называется конусом. Вершина и основание конической поверхности

называются также вершиной и основанием конуса. Отрезок оси ко-

нической поверхности между ее вершиной и основанием называется

осью конуса.

Конус называется прямым, если его ось перпендикулярна плоско-

сти основания, и наклонным, если ось наклонена к этой плоскости.

Тем самым Аполлоний определил прямой и наклонный круговые конусы.

Далее рассматриваются плоские кривые линии. В том случае,

когда в плоской кривой линии проведены параллельные хорды и се-

редины этих хорд лежат на одной прямой, эта прямая называется

диаметром кривой линии. Конец диаметра называется вершиной плос-

кой кривой линии.

В том случае, когда точки двух плоских кривых линий соединя-

ются параллельными прямолинейными отрезками, и прямая линия,

содержащая один из этих отрезков, является диаметром обеих кривых

линий, отрезок этой прямой линии между двумя кривыми линиями

называется поперечным диаметром этих кривых линий, а если середи-

ны параллельных отрезков лежат на одной прямой линии, эта прямая

линия называется восставленным диаметром пары кривых линий. Кон-

цы поперечного диаметра пары кривых линий называются вершинами

этих линий.

Аполлоний называет половины параллельных хорд между кривой

линией и ее диаметром <приложенными по порядку>. В средневековых

латинских переводах <Конических сечений> это выражение перево-

дилось ordinatim applicatae, откуда произошел термин <ординаты>,

которым мы будем переводить выражение Аполлония <приложенные

по порядку>.

Два диаметра называются сопряженными, если один из них па-

раллелен ординатам, проведенным к другому.

В том случае, когда диаметр плоской кривой линии или пары

кривых линий перпендикулярен параллельным хордам, этот диаметр называется осью кривой линии или пары кривых линий. Оси кривых

линий и пар кривых линий являются их осями симметрии.

В дальнейшем Аполлоний рассматривает диаметры, вершины, ор-

динаты и оси параболы, эллипса и гиперболы, а также поперечные

и восставленные диаметры пары противоположных гипербол.

Термин <диаметр> первоначально применялся только к окружно-

сти круга.

Предшественники Аполлония называли диаметрами конического

сечения то, что Аполлоний называл осями. Об этом изменении тер-

минологии Аполлоний писал в предисловии к I книге. По-видимому,

этим объясняется то, что Аполлоний называл <вершинами> концы лю-

бого диаметра, хотя его предшественники называли так только концы

осей.

Современные математики применяют термины <диаметр> и <ось>

для конических сечений в том же смысле, что и Аполлоний, словом

<вершина> называют не любую точку конического сечения, как это

делал Аполлоний, а только концы осей сечения.

В предложении I1 <Конических сечений> Аполлоний доказывал,

что прямая, соединяющая вершину конической поверхности с любой

ее точкой, целиком лежит на этой поверхности, т. е. является ее

прямолинейной образующей.

В предложении I2 доказывается, что прямолинейный отрезок, со-

единяющий две точки одной полости конической поверхности и не ле-

жащий на ее прямолинейной образующей, находится внутри кониче-

ской поверхности, а продолжения этого отрезка находятся вне этой

поверхности.

У Аполлония отсутствует доказательство того, что прямолинейный

отрезок, соединяющий две точки различных полостей конической по-

верхности и не лежащий на ее прямолинейной образующей, находится

вне конической поверхности, а продолжения этого отрезка находятся

внутри этой поверхности. Это доказательство отсутствует, по-видимо-

му, потому, что такая теорема не доказывается в <Началах конических

сечений> Евклида.

В предложении I3 доказывается, что сечение кругового конуса

плоскостью, проходящей через его вершину, является треугольником,

откуда следует, что сечение конической поверхности плоскостью, про-

ходящей через ее вершину, является парой пересекающихся прямых.

В предложении I4 доказывается, что сечение кругового кону-

са плоскостью, параллельной его основанию, является кругом, откуда

следует, что сечение конической поверхности плоскостью, параллель-

ной ее основанию, является окружностью.

Предложение I5, важное для теории стереографической проекции,

мы рассматривали в главе 4.

В предложении I6 доказывается, что если в наклонном круговом

конусе с вершиной A и основанием BC проведен осевой треугольник ABC, проходящий через его ось, и в его основании проведена ли-

ния DE, перпендикулярная диаметру BC основания, то если из точки L

поверхности конуса, не лежащей на сторонах треугольника ABC, про-

вести параллельно прямой DE прямую LK, пересекающую плоскость

ABC в точке K, и если продолжить ее до пересечения с поверхностью

конуса в точке M, то отрезок KM равен отрезку LK (рис. 19, а).

В предложении I7 рассматриваются сечения конической поверх-

ности плоскостями общего вида. Пусть коническая поверхность с вершиной A и с основанием BC пересекается плоскостью, высекающей

из плоскости основания конуса прямую DE. Проведем диаметр основа-

ния BC перпендикулярно прямой DE и построим осевой треугольник

ABC конуса, ограниченного конической поверхностью и ее основанием.

Пусть плоскость конического сечения пересекает прямую AB в точ-

ке G, а прямую BC в точке I. Тогда прямая GI делит каждую из хорд

конического сечения, параллельных прямой DE, на две равные части,

т. е. диаметр этого конического сечения расположен на прямой GI,

а хорды, параллельные линии DE, являются ординатами, проведен-

ными к этому диаметру. На рис. 19, б—г изображены случаи, когда

коническое сечение является параболой, эллипсом или гиперболой.

Доказательство этого утверждения вытекает из предложения I6.

Заметим, что если провести через точку G плоскость, парал-

лельную основанию конуса, она пересечет плоскость конического

сечения по прямой, параллельной DE. Эта прямая является касатель-

ной к коническому сечению в точке G. Конические сечения, которые

рассматриваются в предложении I7 и в последующих предложени-

ях Аполлония, высекаются из конических поверхностей произволь-

ными плоскостями, а не только плоскостями, перпендикулярными

прямолинейным образующим этих поверхностей. Поэтому названия

конических сечений, которыми пользовались предшественники Апол-

лония, теряют смысл, и Аполлоний заменил эти названия новыми.

В отличие от предшественников Аполлония, которые рассматрива-

ли только плоские сечения прямых круговых конусов, конические

сечения, которые рассматривал Аполлоний, высекаются также из на-

клонных круговых конусов, и, помимо сечений одной полости ко-

нической поверхности, он рассматривал сечения обеих полостей этой

поверхности.

В предложении I8 Аполлоний находит условия того, что

конические сечения <могут быть неопределенно продолжены>, т. е.,

выражаясь языком современной геометрии, простираются в бес-

конечность.

В предложении I9 определяются условия, когда конические сече-

ния не являются окружностями. Предложение I10 устанавливает, что

конические сечения являются выпуклыми линиями. Здесь впервые по-

являются понятия внешних и внутренних точек конических сечений.

Предложения об этих точках аналогичны предложениям о внутренних

и внешних точках кругов в III книге <Начал> Евклида. Внутрен-

ние и внешние точки кругов являются такими точками, расстояния

которых до центра круга меньше или больше радиуса круга. Это

метрическое определение неприменимо для конических сечений. Апол-

лоний не дает определения внутренних и внешних точек конических

сечений, но, по существу, переносит это понятие с кругов на кони-

ческие сечения с помощью проецирования из вершины конической

поверхности.