Стереографическая проекция
При изображении звездного неба на картах и астрономических инструментах, а также при черчении географических карт часто при-
меняется стереографическая проекция, т. е. проецирование сферы
на плоскость из одного из полюсов сферы на касательную плоскость
в другом полюсе или на плоскость, параллельную этой плоскости.
Стереографическая проекция обладает двумя замечательными
свойствами: 1) окружности на сфере изображаются на плоскости окруж-
ностями или прямыми, 2) углы между кривыми на сфере изображаются на плоскости равными углами.
Окружности, проходящие через центр проекции, изображаются на плоскости прямыми, это вытекает из того, что в этом случае все проецирующие лучи лежат в плоскости окружности и пересекаются с плоскостью проекции в точках общей прямой этих двух плоскостей. Тот факт, что окружности, не проходящие через центр проекции, изображаются на плоскости окружностями, следует из предложения I5 <Конических сечений> Аполлония. В этом предложении рассматривается наклонный круговой конус и доказывается, что в этом конусе, кроме семейства круговых сечений, параллельных его основанию, имеется второе семейство
круговых сечений. Этот факт можно доказать следующимобразом.Наклон-
ный круговой конус с вершиной A обладает плоскостью симметрии,
пересекающей окружность основания конуса в точках B и C (рис. 10).
Треугольник ABC проходит через прямую, соединяющую вершину A
конуса с центром O его основания, и, так как прямая AO является осью
конуса, треугольник ABC называется осевым треугольником конуса.
Если мы пересечем конус плоскостью, перпендикулярной бис-
сектрисе угла BAC, то эта плоскость пересечет поверхность конуса
по эллипсу, и конус можно рассматривать как прямой эллиптический
конус. Эллипс, ограничивающий основание этого конуса, обладает
двумя осями симметрии—прямой, по которой его плоскость пересе-
кается с плоскостью ABC, и перпендикулярной ей прямой. Поэтому
наклонный круговой конус обладает двумя плоскостями симметрии—
плоскостью ABC и плоскостью, проходящей через точку A и вторую
ось симметрии эллипса. Отражения круговых сечений наклонного кру-
гового конуса, параллельных его основанию, от второй плоскости его
симметрии являются круговыми сечениями второго семейства.
Если DE—диаметр кругового сечения наклонного кругового ко-
нуса, лежащий в его осевой плоскости ABC, то отражение HK этого
диаметра от второй плоскости симметрии конуса является диаметром
одного из круговых сечений второго семейства, причем угол ADE ра-
вен углу AKH, а угол AED равен углу AHK.
Если окружность круга с диаметром HK, непараллельного плос-
кости проекции, проецируется из полюса A сферы на касательную
плоскость в ее противоположном полюсе, то лучи, проецирующие точ-
ки окружности, являются прямолинейными образующими наклонного
кругового конуса (рис. 11). Поверхность конуса пересекается с плос-
костью проекции по окружности кругового сечения этого конуса,
принадлежащего второму семейству, так как диаметр BC этой окруж-
ности составляет с прямыми AB и AC углы, равные углам AKH и AHK.
Если точка X на сфере проецируется в точку X_ на плоскости, то
две кривые на сфере, выходящие из точки X, изображаются на плоскости
двумя кривыми, выходящими из точки X_ (рис. 12). За угол между двумя
пересекающимися кривыми принимается угол между касательными к ним
в точке их пересечения. Пусть касательные к кривым, выходящим из точ-
ки X,—прямые XU и XV, пересекающие плоскость, проведенную па-
раллельно плоскости проекции через центр проекции A, в точках U
и V. Тогда отрезки XU и XV равны AU и AV как отрезки касатель-
ных, проведенных к сфере, между точкой их пересечения и точками
касания. Поэтому треугольники XUV и AUV равны, и угол UXV равен
углу UAV. Касательные X_U_ и X_V_ к кривым, выходящим из точки X_ ,
параллельны прямым AU и AV. Поэтому угол U_X_V_ равен углу UXV.