Стереографическая проекция

К оглавлению
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

При изображении звездного неба на картах и астрономических инструментах, а также при черчении географических карт часто при-

меняется стереографическая проекция, т. е. проецирование сферы

на плоскость из одного из полюсов сферы на касательную плоскость

в другом полюсе или на плоскость, параллельную этой плоскости.

Стереографическая проекция обладает двумя замечательными

свойствами: 1) окружности на сфере изображаются на плоскости окруж-

ностями или прямыми, 2) углы между кривыми на сфере изображаются на плоскости равными углами.

Окружности, проходящие через центр проекции, изображаются на плоскости прямыми, это вытекает из того, что в этом случае все проецирующие лучи лежат в плоскости окружности и пересекаются с плоскостью проекции в точках общей прямой этих двух плоскостей. Тот факт, что окружности, не проходящие через центр проекции, изображаются на плоскости окружностями, следует из предложения I5 <Конических сечений> Аполлония. В этом предложении рассматривается наклонный круговой конус и доказывается, что в этом конусе, кроме семейства круговых сечений, параллельных его основанию, имеется второе семейство

круговых сечений. Этот факт можно доказать следующимобразом.Наклон-

ный круговой конус с вершиной A обладает плоскостью симметрии,

пересекающей окружность основания конуса в точках B и C (рис. 10).

Треугольник ABC проходит через прямую, соединяющую вершину A

конуса с центром O его основания, и, так как прямая AO является осью

конуса, треугольник ABC называется осевым треугольником конуса.

Если мы пересечем конус плоскостью, перпендикулярной бис-

сектрисе угла BAC, то эта плоскость пересечет поверхность конуса

по эллипсу, и конус можно рассматривать как прямой эллиптический

конус. Эллипс, ограничивающий основание этого конуса, обладает

двумя осями симметрии—прямой, по которой его плоскость пересе-

кается с плоскостью ABC, и перпендикулярной ей прямой. Поэтому

наклонный круговой конус обладает двумя плоскостями симметрии—

плоскостью ABC и плоскостью, проходящей через точку A и вторую

ось симметрии эллипса. Отражения круговых сечений наклонного кру-

гового конуса, параллельных его основанию, от второй плоскости его

симметрии являются круговыми сечениями второго семейства.

Если DE—диаметр кругового сечения наклонного кругового ко-

нуса, лежащий в его осевой плоскости ABC, то отражение HK этого

диаметра от второй плоскости симметрии конуса является диаметром

одного из круговых сечений второго семейства, причем угол ADE ра-

вен углу AKH, а угол AED равен углу AHK.

Если окружность круга с диаметром HK, непараллельного плос-

кости проекции, проецируется из полюса A сферы на касательную

плоскость в ее противоположном полюсе, то лучи, проецирующие точ-

ки окружности, являются прямолинейными образующими наклонного

кругового конуса (рис. 11). Поверхность конуса пересекается с плос-

костью проекции по окружности кругового сечения этого конуса,

принадлежащего второму семейству, так как диаметр BC этой окруж-

ности составляет с прямыми AB и AC углы, равные углам AKH и AHK.

Если точка X на сфере проецируется в точку X_ на плоскости, то

две кривые на сфере, выходящие из точки X, изображаются на плоскости

двумя кривыми, выходящими из точки X_ (рис. 12). За угол между двумя

пересекающимися кривыми принимается угол между касательными к ним

в точке их пересечения. Пусть касательные к кривым, выходящим из точ-

ки X,—прямые XU и XV, пересекающие плоскость, проведенную па-

раллельно плоскости проекции через центр проекции A, в точках U

и V. Тогда отрезки XU и XV равны AU и AV как отрезки касатель-

ных, проведенных к сфере, между точкой их пересечения и точками

касания. Поэтому треугольники XUV и AUV равны, и угол UXV равен

углу UAV. Касательные X_U_ и X_V_ к кривым, выходящим из точки X_ ,

параллельны прямым AU и AV. Поэтому угол U_X_V_ равен углу UXV.