Архимед
Архимед (287—212 до н. э.), величайший ученый древности, ро-
дился и жил в Сиракузах на восточном берегу острова Сицилия. Он
учился в Александрии и был связан с Александрийской школой в тече-
ние всей своей жизни. Архимед находился в переписке с Эратосфеном
и Кононом и посылал им свои сочинения, а после смерти Конона по-
сылал их его другу Досифею.
Архимед был математиком, механиком, астрономом, физиком
и инженером, автором многих технических изобретений.
Архимед усовершенствовал <метод исчерпывания> Евдокса, изло-
женный в XII книге <Начал> Евклида, и с помощью этого метода
решил многие задачи интегрального исчисления. В отличие от Евкли-
да, Архимед рассматривал также геометрические величины, которые
нельзя построить с помощью циркуля и линейки.
В <Измерении круга> (Kyklou metre￣ sis) Архимед вычислил при-
ближенное значение числа π и с помощью этого выражения нашел
длину окружности и площадь круга.
В сочинении <О шаре и цилиндре> (Peri sphairas kai kylindrou)
Архимед вычислил объемы шара и прямых круговых цилиндра и ко-
нуса и площади поверхностей этих тел.
В <Квадратуре сечения прямоугольного конуса> (Tetrago￣ nismos orthogo
￣ niou ko￣ nou tome￣ s) Архимед вычислил площадь сегмента параболы.
В сочинении <О коноидах и сфероидах> (Peri ko￣ noeideo￣ n kai
sphairoeideo￣ n) Архимед рассматривал тела, ограниченные поверхностя-
ми, полученными вращением конических сечений.
Во многих математических трактатах Архимед пользовался меха-
ническими соображениями, рассматривая сечения тел как материаль-
ные пластинки, вес которых пропорционален их площади, и применяя
законы рычага.
В сочинении <О спиралях> (Peri heliko￣ n) Архимед решил некото-
рые задачи дифференциального исчисления.
Архимед решал задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям,
применяя различные виды <вставок> и пересечение конических сечений.
В <Исчислении песчинок> (Psammite￣ s) Архимед построил ориги-
нальную систему нумерации больших чисел.
Архимеду принадлежат гидростатический закон, носящий его имя,
и важные результаты в теории зеркал.
Из изобретений Архимеда упомянем бесконечный винт, применя-
ющийся для вычерпывания воды из водоемов, а также планетарий,
наглядно показывающий движение Солнца, Луны и планет.
Во время осады Сиракуз римлянами в 214—212 гг. до н. э. Ар-
химед был душой обороны города, защитники которого применяли
многие его изобретения. Архимед расставил солдат с блестящими мед-
ными щитами таким образом, что они образовывали часть поверхности
параболоида вращения, ось которого была направлена на Солнце,
а фокус находился на одном из кораблей римлян. Солнечные лучи,
отражаясь от полированных щитов солдат, попадали на вражеский
корабль и поджигали его. Так как фокус параболоида расположен
на его оси, сожжение корабля возможно только при восходе Солнца,
когда Солнце, корабль и вершина параболоида вращения расположе-
ны на одной прямой линии.
Некоторые историки сомневались в возможности такого сожжения
корабля. Но греческий инженер Иоаннис Сакас [52] в 1968 г. в Сало-
никах при восходе Солнца успешно воспроизвел действие Архимеда—
сжег деревянное судно.
После взятия Сиракуз римлянами Архимед был убит.
На могильной плите Архимеда был выгравирован чертеж, изображающий цилиндр со вписанными в него конусом и шаром. По этому амятнику через полтора столетия Цицерон, будучи квестором Сицилии, нашел могилу Архимеда.
Этот чертеж (рис. 5) воспроизводит одно из самых замечательных доказательств Архимеда—его теоремы об объеме шара, изложенной
в <Послании Эратосфену о механи-
ческих теоремах> [4, с. 298—327].
В этом сочинении Архимед рассма-
тривал прямой круговой цилиндр,
высота которого равна радиусу D его основания. В цилиндр вписаны прямой круговой конус, основание которого совпадает с нижним основанием цилиндра, а вершина—
с центром A верхнего основания цилиндра, и шар, полюсы которого
совпадают с центрами A и B верхнего и нижнего оснований цилиндра.
Площади сечений этих трех тел плоскостью, параллельной осно-
ваниям цилиндра, на расстоянии x от точки A равны, соответственно,
πD2, πx2 и πx(D−x). Архимед рассматривал эти сечения как мате-
риальные пластинки, веса которых равны их площадям. Он заметил,
что если перенести сечения конуса и шара в точку C оси цилиндра,
находящуюся на расстоянии D выше точки A, а сечение цилиндра
оставить на месте и рассматривать линию CAB как рычаг с точкой
опоры A, то моменты сечений цилиндра, конуса и шара будут рав-
ны, соответственно, πD2x, πDx2 и πD2x−πDx2. Поэтому перенесенные
сечения конуса и шара будут уравновешивать сечение цилиндра. Ар-
химед считал, что если равновесие имеет место для весов отдельных
сечений, оно будет иметь место и для сумм этих весов. Суммой ве-
сов сечений тела Архимед считал вес всего этого тела, т. е. его объем.
Если мы обозначим объемы цилиндра, конуса и шара, соответственно,
Vц, Vк и Vш, то сумма моментов перенесенных сечений рав-
на VкD+VшD, а сумма моментов сечений цилиндра равна произведе-
нию его объема на расстояние от точки A до его центра тяжести, т. е.
VцD
2
. Так как Vк=
Vц
3
, мы получим, что Vш=
Vц
2
−
Vц
3
=
Vц
6
или, так как
Vц=πD3, Vш=πD3
6
. Если обозначить D=2R, мы можем переписать
последнюю формулу в виде
Vш=4
3
πR3.