Евклид
Евклид жил в середине IV в.—конце III в. до н. э. Главный
труд Евклида <Начала> (Stoicheia) представлял собой свод почти всех знаний античных математиков по элементарной геометрии и теорети-
ческой арифметике.
<Начала> Евклида состоят из 13 книг. В I книге изложены основы
планиметрии, во II книге—геометрическая алгебра, в III книге—уче-
ние о круге, в IV книге—учение о многоугольниках, в V книге—тео-
рия отношений геометрических величин, в VI книге—учение о подо-
бии. VII книга посвящена теории числовых отношений, VIII книга—
теории делимости чисел, IX книга—учению о простых и совершенных
числах, X книга—теории иррациональностей. В XI книге изложены
основы стереометрии, в XII книге—учение о площадях и объемах,
в XIII книге—учение о правильных многогранниках.
Б. Л. ван дер Варден [6, с. 269—270] пришел к выводу, что все
13 книг <Начал> Евклида написаны на основе сочинений греческих
математиков V—IV вв. до н. э.: I—IV и XI книги—обработки <На-
чал> Гиппократа Хиосского, V—VI и XII книги—сочинений Евдокса
Книдского, VII—IX книги—сочинений пифагорейцев, вернее всего,
Архита Тарентского, X и XIII книги—сочинений Теэтета Афинского.
Во введении к I книге даются определения точки, линии, поверх-
ности, прямой линии и плоской поверхности и различных плоских
фигур, а также аксиомы геометрического характера, так называемые
постулаты, и общие аксиомы о сравнении величин. Дополнительные
определения приводятся во введениях к некоторым другим книгам.
Первые три постулата определяют построения идеальным цирку-
лем и идеальной линейкой. IV постулат о том, что все прямые углы
равны, исключает сферическую геометрию, в которой прямые углы
между меридианами и параллелями не наложимы друг на друга. V по-
стулат лежит в основе теории параллельных линий.
В <Началах> Евклида рассматриваются только такие величины,
которые можно построить циркулем и линейкой, поэтому в <Нача-
лах> не рассматриваются ни площадь круга, ни объемы круглых тел.
По существу, в <Началах> рассматривается не то, что мы называем
пространством Евклида, а только множество точек этого пространства,
которые можно построить циркулем и линейкой.
В соответствии с античной традицией Евклид применял термин
<произведение> только к произведению натуральных чисел, а то, что
мы называем произведением отрезков, Евклид называл прямоугольни-
ком, построенным на этих отрезках. На этом представлении основана
геометрическая алгебра древних греков, изложенная во II книге <На-
чал>. То, что мы называем произведением двух отношений геометри-
ческих величин, Евклид называл отношением, составленным из этих
двух отношений.
Наиболее часто Аполлоний ссылался на предложения II14 и VI23
(т. е. на 14 предложение II книги и на 23 предложение VI книги)
<Начал> Евклида. Первое из этих предложений [9, т. 1, с. 78—79]
позволяет построить квадрат, равновеликий данному прямоугольнику.
Если стороны прямоугольника равны a и b, то сторона квадрата равна квадрат-
ному корню из ab. Если AB=a и BC=
=b—два отрезка диаметра AC круга,
то сторона квадрата, равновеликого это-
му прямоугольнику, равна перпендику-
ляру BD к диаметру, восставленному
в точке B и доходящему до окружности
круга (рис. 2). Если мы обозначим AB=
=x1, BC=x2, BD=y, то это предложение будет равносильно уравнению
y2=x1x2. (2.1)
Это уравнение называют уравнением окружности ADC с двумя
абсциссами.
Предложение VI23 гласит: <Равноугольные параллелограммы име-
ют друг к другу составное отношение их сторон> [9, т. 1, с. 203—
204]. В силу этого предложения отношение прямоугольника A с гори-
зонтальной стороной a и вертикальной стороной b к прямоугольнику B
с горизонтальной стороной c и вертикальной стороной d составлено
из отношений a/c и b/d (рис. 3).
Во введении к XI книге <Начал> приводятся определения шара
и прямых круговых конуса и цилиндра:
<14. Сфера будет: если при неподвижности диаметра полукруга
вращающийся полукруг снова вернется в то же самое [положение],
из которого он начал двигаться, то охваченная фигура [и есть сфера]...
18. Конус будет: если при неподвижности одной из сторон прямо-
угольного треугольника, [прилежащих] к прямому углу, вращающийся
треугольник снова вернется в то же самое [положение], из которо-
го он начал двигаться, то охваченная фигура [и есть конус]. И если
неподвижная прямая будет равна другой, вращающейся, [той, что]
при прямом угле, то конус будет прямоугольным, если же меньше,
то тупоугольным, если же больше, то остро-
угольным...
22. Цилиндр будет: если при неподвижности одной из сторон прямоугольного параллелограмма, [прилегающих] к прямому углу,
вращающийся параллелограмм снова вернется в то же самое [положение], из которого он
начал двигаться, то охваченная фигура [и будет цилиндром]> [9, т. 3, с. 10].
На рис. 4, а—в, изображены конусы,
определенные Евклидом.
Евклид был также автором геометриче-
ских сочинений <Данные> (Dedomena)
и <О делении фигур> (Peri diaireseo￣ r), астрономического сочинения <Феномены> (Phainomena), а также <Оптики> (Optika) и сочинений
по теории музыки и статике.
Аполлоний во введении к I книге <Кони-
ческих сечений> упоминал не дошедшее до нас
сочинение Евклида <Начала конических сече-
ний> (Ko￣ niko￣ n stoicheia) в четырех книгах.